8. При каких значениях параметра а уравнение \( a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9=0 \) имеет более одного корня?

Рассмотрим квадратное уравнение: \[ a(a+3) x^{2} + (2a + 6) x - 3a - 9 = 0 \] Для того чтобы уравнение имело более одного корня, необходимо, чтобы выполнены следующие условия: 1. **Квадратное уравнение**: Коэффициент при \( x^2 \) не должен равняться нулю: \[ a(a + 3) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \text{ и } a \neq -3 \] 2. **Дискриминант положителен**: Для наличия двух различных корней дискриминант должен быть больше нуля. Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = (2a + 6)^2 - 4 \cdot a(a + 3) \cdot (-3a - 9) \] Упростим: \[ D = 4(a + 3)^2 + 12a(a + 3)^2 = 4(a + 3)^2 (1 + 3a) \] Для того чтобы \( D > 0 \): \[ 4(a + 3)^2 (1 + 3a) > 0 \] Так как \( 4(a + 3)^2 \) всегда неотрицательно и равен нулю только при \( a = -3 \), исключаем этот случай из рассмотрения. Таким образом: \[ 1 + 3a > 0 \Rightarrow a > -\frac{1}{3} \] Однако необходимо также рассмотреть случай \( a = -3 \): - При \( a = -3 \) уравнение принимает вид \( 0 = 0 \), что означает, что любое значение \( x \) является решением. Это значит, что при \( a = -3 \) уравнение имеет бесконечно много корней, что также соответствует условию "более одного корня". **Итак, уравнение имеет более одного корня для всех значений параметра \( a \), удовлетворяющих условиям:** - \( a > -\frac{1}{3} \) и \( a \neq 0 \), - Либо \( a = -3 \). **Ответ:** Все a больше –⅓, кроме a = 0, а также a равно –3. То есть a > −1⁄3 при a ≠ 0 или a = −3.