\( f(x)=\frac{4-2 x}{1-x} \) Encontrar: - Asíntota vertical - Asíntota horizontal - Cortes en los ejes \( x_{a x} \) (ceros) - Tabla de valores - Gráfica - Dominio y rango

Dada la función   f(x) = (4 – 2x)/(1 – x) vamos a determinar paso a paso los elementos solicitados. ────────────────────────────── 1. Reescritura de la función Es útil reescribir la función para facilitar el análisis. Multiplicando numerador y denominador por –1 se obtiene:   f(x) = (4 – 2x)/(1 – x) = [–1·(–4 + 2x)]/[–1·(x – 1)] = (2x – 4)/(x – 1) También se puede factorizar el numerador:   f(x) = 2(x – 2)/(x – 1) Recordar siempre que x – 1 ≠ 0, es decir, x ≠ 1. ────────────────────────────── 2. Asíntota vertical La asíntota vertical se origina cuando el denominador se anula sin que se cancele con el numerador. Sea:   x – 1 = 0 ⟹ x = 1 Verificamos que en x = 1 el numerador vale 2(1 – 2) = –2 ≠ 0. Por lo tanto, existe una asíntota vertical:   x = 1 ────────────────────────────── 3. Asíntota horizontal Para funciones racionales, se compara el grado del numerador y del denominador. En f(x) = 2(x – 2)/(x – 1) ambos tienen grado 1. Entonces la asíntota horizontal viene determinada por el cociente de los coeficientes líderes. Coeficiente líder del numerador: 2 Coeficiente líder del denominador: 1 Por lo tanto:   y = 2/1 = 2 La asíntota horizontal es:   y = 2 ────────────────────────────── 4. Cortes en los ejes a) Intersección con el eje x (ceros de la función): Se iguala el numerador a cero (recordando que el denominador ≠ 0):   2(x – 2) = 0 ⟹ x – 2 = 0 ⟹ x = 2 El punto de corte con el eje x es:   (2, 0) b) Intersección con el eje y: Se evalúa f(x) en x = 0:   f(0) = 2(0 – 2)/(0 – 1) = 2(–2)/(–1) = (–4)/(–1) = 4 El punto de corte con el eje y es:   (0, 4) ────────────────────────────── 5. Tabla de valores Es recomendable calcular algunos valores, especialmente cerca de la asíntota vertical (x = 1) y alrededor de otros puntos de interés.   Consideremos la siguiente tabla:   ------------------------------------------------     x        f(x) = 2(x – 2)/(x – 1)   ------------------------------------------------   -2      f(-2) = 2(–2 – 2)/(-2 – 1) = 2(–4)/(-3) = 8/3 ≈ 2.67   -1      f(-1) = 2(–1 – 2)/(-1 – 1) = 2(–3)/(-2) = 3   0      f(0) = 2(0 – 2)/(0 – 1) = 2(–2)/(-1) = 4   0.5    f(0.5)= 2(0.5 – 2)/(0.5 – 1) = 2(–1.5)/(-0.5) = 6   0.9    f(0.9)= 2(0.9 – 2)/(0.9 – 1) = 2(–1.1)/(-0.1) = 22   1.1    f(1.1)= 2(1.1 – 2)/(1.1 – 1) = 2(–0.9)/(0.1) = –18   2      f(2) = 2(2 – 2)/(2 – 1) = 0   3      f(3) = 2(3 – 2)/(3 – 1) = 2(1)/2 = 1   ------------------------------------------------ Notar que al acercarse a x = 1 por la izquierda los valores se disparan a +∞ y por la derecha a –∞. ────────────────────────────── 6. Gráfica La gráfica de f(x) presenta las siguientes características: • Tiene una asíntota vertical en x = 1. • Tiene una asíntota horizontal en y = 2. • Pasa por el punto (0, 4) (intersección con el eje y) y corta el eje x en (2, 0). • Para x < 1, f(x) tiende a +∞ al acercarse a x = 1. • Para x > 1, f(x) tiende a –∞ al acercarse a x = 1. • La gráfica se aproxima a la línea y = 2 cuando x → ±∞. Aunque aquí no se puede dibujar una gráfica en forma dinámica, se puede esbozar a mano considerando estos puntos y comportamientos. ────────────────────────────── 7. Dominio y rango a) Dominio: La única restricción proviene del denominador, que se anula en x = 1. Así:   Dominio: { x ∈ ℝ | x ≠ 1 } b) Rango: Para encontrar el rango, se puede despejar x en función de y a partir de   y = 2(x – 2)/(x – 1) Procedimiento:   Multiplicar ambos lados por (x – 1):     y(x – 1) = 2(x – 2)   Expandir:     yx – y = 2x – 4   Reordenar:     yx – 2x = y – 4     x(y – 2) = y – 4   Si y – 2 ≠ 0, despejamos:     x = (y – 4)/(y – 2) La expresión anterior muestra que para cualquier y ≠ 2 existe un correspondiente valor de x (que, además, se debe cumplir que x ≠ 1, lo cual resulta en alguna restricción adicional, pero en este caso la única restricción real en y es que no se logre y = 2). Además, al analizar la gráfica se confirma que la función se aproxima a y = 2, pero nunca la alcanza. Por lo tanto:   Rango: { y ∈ ℝ | y ≠ 2 } ────────────────────────────── Resumen final • Función:    f(x) = 2(x – 2)/(x – 1) • Dominio:    x ∈ ℝ, x ≠ 1 • Asíntota vertical: x = 1 • Asíntota horizontal: y = 2 • Intersección con eje x (cero): (2, 0) • Intersección con eje y: (0, 4) • Rango:    y ∈ ℝ, y ≠ 2 ────────────────────────────── Gráfica Esquemática (boceto)     |    6 | ● (0.5, 6)    4 | ● (0, 4)    2 |---------------------→ ASÍNTOTA HORIZONTAL: y = 2    0 | ● (2, 0)    -∞ | ● (3, 1) …     |   ————————————————————    1  2  3  4    ↑    ASÍNTOTA VERTICAL: x = 1 (Tener en cuenta que en x = 1 la función tiene una discontinuidad y se observa que a la izquierda de x = 1 se dispara a +∞ y a la derecha a –∞). Esta descripción y los valores tabulados permiten obtener un buen esbozo de la gráfica de la función f(x).