\( x \) bir asal sayı, \( n \) sayma sayısıdır. \( \frac{12!}{x^{n}} \) ifadesi tek sayı olduğuna göre, \( n \) kaçtır?

Verilen ifade \( \frac{12!}{x^{n}} \) bir tek sayı olabilmesi için, \( 12! \) ifadesinin içinde \( x \)’in sayısı \( n \)’den az olmalıdır. \( x \) bir asal sayı olduğuna göre, \( 12! \) içindeki asal sayıların çarpanlarını incelemeliyiz. Öncelikle, \( 12! \) içindeki asal çarpanları bulalım. 12 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5, 7, 11’dir. Bu asal sayıların \( 12! \) içindeki kuvvetlerini bulmak için şu formülü kullanabiliriz: \[ \text{Kuvvet} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{12}{p^k} \right\rfloor \] Her asal sayı için ayrı ayrı hesapladığımızda: - **2 için**: \( \left\lfloor \frac{12}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{12}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{12}{8} \right\rfloor = 6 + 3 + 1 = 10 \) - **3 için**: \( \left\lfloor \frac{12}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{12}{9} \right\rfloor = 4 + 1 = 5 \) - **5 için**: \( \left\lfloor \frac{12}{5} \right\rfloor = 2 \) - **7 için**: \( \left\lfloor \frac{12}{7} \right\rfloor = 1 \) - **11 için**: \( \left\lfloor \frac{12}{11} \right\rfloor = 1 \) Bu durumda, \( x \)’in mümkün asal değerleri için kuvvetler: - 2: 10 - 3: 5 - 5: 2 - 7: 1 - 11: 1 \( n \)'in bu kuvvetlerden daha küçük olması gerektiğinden her bir asal için \( n \) değerlerini yazabiliriz: - \( x = 2 \) için: \( n < 10 \) - \( x = 3 \) için: \( n < 5 \) - \( x = 5 \) için: \( n < 2 \) - \( x = 7 \) için: \( n < 1 \) - \( x = 11 \) için: \( n < 1 \) En küçük \( n \) değeri olarak, \( n = 0 \) seçilebilir. Dolayısıyla, bu koşullar altında **\( n \) en fazla 1 olmalı; böylece açıkladığımız üzere, \( n \) değeri \( 2 \) dahil her asal sayısı için 0'dan 1'e düşmelidir**. Yani, \( n \) en fazla 1 olur. Ancak tüm durumları göz önünde bulundurursak, **\( n = 5 \)** seçeneği uygunluğu sebebiyle cevap olacak. Sonuçta, \( n \) değeri **1**’dir.