Esercizio 1. Si consideri la conica $$ \mathscr{C}: 3 x^{2}-10 x y+3 y^{2}+4 x-2 y-1=0 $$ (a) Provare che si tratta di una iperbole generale. (b) Calcolarne centro e asintoti.

Question

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**Esercizio 1**

Si consideri la conica
$$ \mathscr{C}: 3 x^{2}-10 x y+3 y^{2}+4 x-2 y-1=0 $$

### (a) Verifica che si tratta di un'iperbole generale

Per determinare la natura della conica, calcoliamo il discriminante $$ \Delta $$ dato da:
$$ \Delta = B^{2} - 4AC $$

Dove:
- $$ A = 3 $$
- $$ B = -10 $$
- $$ C = 3 $$

Calcoliamo:
$$ \Delta = (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$

Poiché $$ \Delta > 0 $$, la conica $$ \mathscr{C} $$ è un'iperbole generale.

### (b) Calcolo del centro e degli asintoti

**1. Trovare il centro della conica**

Il centro $$ (h, k) $$ di una conica generale si trova risolvendo il sistema delle equazioni derivate parziali:
$$
\begin{cases}
\frac{\partial \mathscr{C}}{\partial x} = 0 \
\frac{\partial \mathscr{C}}{\partial y} = 0
\end{cases}
$$

Calcoliamo le derivate parziali:
$$
\frac{\partial \mathscr{C}}{\partial x} = 6x - 10y + 4 = 0 \quad (1)
$$
$$
\frac{\partial \mathscr{C}}{\partial y} = -10x + 6y - 2 = 0 \quad (2)
$$

Risolviamo il sistema:
$$
\begin{cases}
6x - 10y = -4 \
-10x + 6y = 2
\end{cases}
$$

Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per 5:
$$
\begin{cases}
18x - 30y = -12 \
-50x + 30y = 10
\end{cases}
$$

Sommiamo le due equazioni:
$$
(18x - 50x) + (-30y + 30y) = -12 + 10 \
-32x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{16}
$$

Sostituiamo $$ x = \frac{1}{16} $$ nella prima equazione originale:
$$
6 \left( \frac{1}{16} \right) - 10y = -4 \
\frac{6}{16} - 10y = -4 \
\frac{3}{8} - 10y = -4 \
-10y = -4 - \frac{3}{8} = -\frac{35}{8} \
y = \frac{35}{80} = \frac{7}{16}
$$

Quindi, il **centro** della conica è:
$$
(h, k) = \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right)
$$

**2. Determinare gli asintoti**

Gli asintoti di un'iperbole sono determinati dall'equazione omogenea associata alla conica, cioè:
$$
3x^{2} - 10xy + 3y^{2} = 0
$$

Risolviamo questa equazione per trovare le rette asintotiche:
$$
3x^{2} - 10xy + 3y^{2} = 0
$$
$$
y = m x
$$
Sostituendo:
$$
3x^{2} - 10x(mx) + 3(m x)^{2} = 0 \
3 - 10m + 3m^{2} = 0
$$
Risolvendo l'equazione quadratica per $$ m $$:
$$
3m^{2} - 10m + 3 = 0 \
m = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}
$$
Quindi:
$$
m_{1} = \frac{18}{6} = 3 \
m_{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

Le **rette asintotiche** passando per il centro $$ \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) $$ sono quindi:
$$
\text{Asintoto 1: } y - \frac{7}{16} = 3 \left( x - \frac{1}{16} \right) \
\Rightarrow y = 3x + \frac{1}{4}
$$
$$
\text{Asintoto 2: } y - \frac{7}{16} = \frac{1}{3} \left( x - \frac{1}{16} \right) \
\Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{12}
$$

**Risultato finale:**
- **Centro:** $$ \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) $$
- **Asintoti:**
  $$
  y = 3x + \frac{1}{4} \quad \text{e} \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{12}
  $$
**Esercizio 1** La conica $$ \mathscr{C}: 3x^{2} - 10xy + 3y^{2} + 4x - 2y - 1 = 0 $$ è un'iperbole generale. **Centro:** $$ \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) $$ **Asintoti:** 1. $$ y = 3x + \frac{1}{4} $$ 2. $$ y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{12} $$

Esercizio 1. Si consideri la conica

(a) Provare che si tratta di una iperbole generale.
(b) Calcolarne centro e asintoti.

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