Esercizio 1. Si consideri la conica \[ \mathscr{C}: 3 x^{2}-10 x y+3 y^{2}+4 x-2 y-1=0 \] (a) Provare che si tratta di una iperbole generale. (b) Calcolarne centro e asintoti.

**Esercizio 1** Si consideri la conica \[ \mathscr{C}: 3 x^{2}-10 x y+3 y^{2}+4 x-2 y-1=0 \] ### (a) Verifica che si tratta di un'iperbole generale Per determinare la natura della conica, calcoliamo il discriminante \( \Delta \) dato da: \[ \Delta = B^{2} - 4AC \] Dove: - \( A = 3 \) - \( B = -10 \) - \( C = 3 \) Calcoliamo: \[ \Delta = (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] Poiché \( \Delta > 0 \), la conica \( \mathscr{C} \) è un'iperbole generale. ### (b) Calcolo del centro e degli asintoti **1. Trovare il centro della conica** Il centro \( (h, k) \) di una conica generale si trova risolvendo il sistema delle equazioni derivate parziali: \[ \begin{cases} \frac{\partial \mathscr{C}}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \mathscr{C}}{\partial y} = 0 \end{cases} \] Calcoliamo le derivate parziali: \[ \frac{\partial \mathscr{C}}{\partial x} = 6x - 10y + 4 = 0 \quad (1) \] \[ \frac{\partial \mathscr{C}}{\partial y} = -10x + 6y - 2 = 0 \quad (2) \] Risolviamo il sistema: \[ \begin{cases} 6x - 10y = -4 \\ -10x + 6y = 2 \end{cases} \] Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per 5: \[ \begin{cases} 18x - 30y = -12 \\ -50x + 30y = 10 \end{cases} \] Sommiamo le due equazioni: \[ (18x - 50x) + (-30y + 30y) = -12 + 10 \\ -32x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{16} \] Sostituiamo \( x = \frac{1}{16} \) nella prima equazione originale: \[ 6 \left( \frac{1}{16} \right) - 10y = -4 \\ \frac{6}{16} - 10y = -4 \\ \frac{3}{8} - 10y = -4 \\ -10y = -4 - \frac{3}{8} = -\frac{35}{8} \\ y = \frac{35}{80} = \frac{7}{16} \] Quindi, il **centro** della conica è: \[ (h, k) = \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) \] **2. Determinare gli asintoti** Gli asintoti di un'iperbole sono determinati dall'equazione omogenea associata alla conica, cioè: \[ 3x^{2} - 10xy + 3y^{2} = 0 \] Risolviamo questa equazione per trovare le rette asintotiche: \[ 3x^{2} - 10xy + 3y^{2} = 0 \] \[ y = m x \] Sostituendo: \[ 3x^{2} - 10x(mx) + 3(m x)^{2} = 0 \\ 3 - 10m + 3m^{2} = 0 \] Risolvendo l'equazione quadratica per \( m \): \[ 3m^{2} - 10m + 3 = 0 \\ m = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \] Quindi: \[ m_{1} = \frac{18}{6} = 3 \\ m_{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Le **rette asintotiche** passando per il centro \( \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) \) sono quindi: \[ \text{Asintoto 1: } y - \frac{7}{16} = 3 \left( x - \frac{1}{16} \right) \\ \Rightarrow y = 3x + \frac{1}{4} \] \[ \text{Asintoto 2: } y - \frac{7}{16} = \frac{1}{3} \left( x - \frac{1}{16} \right) \\ \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{12} \] **Risultato finale:** - **Centro:** \( \left( \frac{1}{16}, \frac{7}{16} \right) \) - **Asintoti:** \[ y = 3x + \frac{1}{4} \quad \text{e} \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{12} \]