Calcular la distancia de $$ P $$ a la recta. $$ \begin{array}{l} ext { h) } P(-2,1) \quad \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\end{array} $$

Question

Calcular la distancia de $$ P $$ a la recta. $$ \begin{array}{l}	ext { h) } P(-2,1) \quad \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular la distancia de un punto $$ P(x_0, y_0) $$ a una recta dada en la forma $$ Ax + By + C = 0 $$, se utiliza la fórmula:

$$
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Primero, necesitamos reescribir la ecuación de la recta $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 $$ en la forma estándar $$ Ax + By + C = 0 $$.

Multiplicamos toda la ecuación por 12 (el mínimo común múltiplo de 3 y 4) para eliminar los denominadores:

$$
12 \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} \right) = 12 \cdot 1
$$

Esto nos da:

$$
4x + 3y = 12
$$

Ahora, restamos 12 de ambos lados para obtener la forma estándar:

$$
4x + 3y - 12 = 0
$$

De aquí, identificamos los coeficientes:

- $$ A = 4 $$
- $$ B = 3 $$
- $$ C = -12 $$

Ahora, sustituimos las coordenadas del punto $$ P(-2, 1) $$ en la fórmula de la distancia:

$$
x_0 = -2, \quad y_0 = 1
$$

Sustituyendo en la fórmula:

$$
d = \frac{|4(-2) + 3(1) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}
$$

Calculamos el numerador:

$$
4(-2) + 3(1) - 12 = -8 + 3 - 12 = -17
$$

Por lo tanto, el valor absoluto es:

$$
|-17| = 17
$$

Ahora calculamos el denominador:

$$
\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
$$

Finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula de la distancia:

$$
d = \frac{17}{5}
$$

Por lo tanto, la distancia del punto $$ P(-2, 1) $$ a la recta $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 $$ es:

$$
\boxed{\frac{17}{5}}
$$
La distancia del punto $$ P(-2, 1) $$ a la recta $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 $$ es $$ \frac{17}{5} $$.

Calcular la distancia de a la recta.