Question
La divisione \( \left(x^{2}+x-a^{2}-1\right):(x-a) \) ha resto 0 se \( a \) è uguale a:
Ask by Tran Lang. in Italy
Feb 03,2025
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Answer
La divisione ha resto zero se \( a = 1 \).
Solution
Per determinare i valori di \( a \) per cui la divisione \( \frac{x^{2} + x - a^{2} - 1}{x - a} \) ha resto zero, possiamo utilizzare il **Teorema del Resto**. Questo teorema afferma che il resto della divisione di un polinomio \( P(x) \) per \( x - a \) è uguale a \( P(a) \).
Applichiamo il teorema al polinomio dato:
\[
P(x) = x^{2} + x - a^{2} - 1
\]
Calcoliamo \( P(a) \):
\[
P(a) = a^{2} + a - a^{2} - 1 = a - 1
\]
Affinché il resto sia zero, deve valere:
\[
a - 1 = 0 \implies a = 1
\]
**Conclusione:** La divisione ha resto zero se e solo se \( a = 1 \).
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Per affermare che la divisione \( \left(x^{2}+x-a^{2}-1\right):(x-a) \) ha resto 0, dobbiamo verificare se \( x = a \) è una radice del polinomio \( x^{2}+x-a^{2}-1 \). Sostituendo \( x = a \), otteniamo: \[ a^{2} + a - a^{2} - 1 = a - 1. \] Perché il resto sia 0, dobbiamo avere \( a - 1 = 0 \), quindi \( a = 1 \). In sintesi, la divisione ha resto 0 se \( a \) è uguale a 1. Portando avanti il divertimento, chiediti: "Cosa succede se \( a \) fosse 2?". Prendendo in considerazione questo valore, vedremo che la divisione darebbe un resto diverso da zero, dimostrando quanto possa essere interessante esplorare diversi valori in algebra!
