5-18 Calcule los valores máximo y mínimo locales, y punto o puntos sillas de la función. Si dispone de programas para graficación tridimensional, grafique la función con un dominio y desde otra perspectiva que revele todos los aspectos importantes de la función. 5. \( f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}+y \) 7. \( f(x, y)=(x-y)(1-x y) \) 9. \( f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y-6 x^{2}-6 y^{2}+2 \) 13. \( f(x, y)=e^{x} \cos y \)

Para calcular los valores máximo y mínimo locales, así como los puntos silla de las funciones dadas, primero debemos encontrar las derivadas parciales y luego resolver el sistema de ecuaciones que resulta de igualar a cero las derivadas parciales. A continuación, se presentan los pasos para cada función. ### 5. \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + y \) 1. **Derivadas parciales:** \[ f_x = 2x + y \] \[ f_y = x + 2y + 1 \] 2. **Igualar a cero:** \[ 2x + y = 0 \quad (1) \] \[ x + 2y + 1 = 0 \quad (2) \] 3. **Resolver el sistema:** De (1), \( y = -2x \). Sustituyendo en (2): \[ x + 2(-2x) + 1 = 0 \implies x - 4x + 1 = 0 \implies -3x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3} \] Sustituyendo \( x \) en (1): \[ y = -2\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} \] Entonces, el punto crítico es \( \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) \). 4. **Clasificación del punto crítico:** Calculamos las segundas derivadas: \[ f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 1 \] Determinante de la matriz Hessiana: \[ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0 \] Como \( f_{xx} > 0 \), el punto \( \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) \) es un mínimo local. ### 7. \( f(x, y) = (x - y)(1 - xy) \) 1. **Derivadas parciales:** \[ f_x = (1 - xy) + (x - y)(-y) = 1 - xy - y(x - y) \] \[ f_y = -(1 - xy) + (x - y)(-x) = -1 + xy - x(x - y) \] 2. **Igualar a cero y resolver:** Este sistema es más complicado, pero se puede resolver numéricamente o analíticamente. Los puntos críticos se pueden encontrar al resolver \( f_x = 0 \) y \( f_y = 0 \). ### 9. \( f(x, y) = y^3 + 3x^2y - 6x^2 - 6y^2 + 2 \) 1. **Derivadas parciales:** \[ f_x = 6xy - 12x \] \[ f_y = 3y^2 + 3x^2 - 12y \] 2. **Igualar a cero y resolver:** \[ 6xy - 12x = 0 \quad (1) \] \[ 3y^2 + 3x^2 - 12y = 0 \quad (2) \] Resolviendo este sistema se obtienen los puntos críticos. ### 13. \( f(x, y) = e^x \cos y \) 1. **Derivadas parciales:** \[ f_x = e^x \cos y \] \[ f_y = -e^x \sin y \] 2. **Igualar a cero:** \[ e^x \cos y = 0 \quad (1) \] \[ -e^x \sin y = 0 \quad (2) \] La ecuación (1) no tiene solución real, pero (2) implica \( \sin y = 0 \), lo que da \( y = n\pi \) para \( n \in \mathbb{Z} \). ### Graficación Para graficar estas funciones, se puede utilizar software como MATLAB, Python (con Matplotlib y NumPy), o Wolfram Alpha. Se recomienda graficar en un rango adecuado para \( x \) y \( y \) para observar los máximos, mínimos y puntos silla. Por ejemplo, en Python, se puede usar el siguiente código para graficar \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + y \): ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D x = np.linspace(-3, 3, 100) y = np.linspace(-3, 3, 100) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = X**2 + X*Y + Y**2 + Y fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis') plt.show() ``` Este código generará una gráfica tridimensional de la función, permitiendo visualizar sus características.