6. Sergej braucht für seinen 2.1 km langen Nachhauseweg zu Fuss exakt 20 Minuten. Heute fängl es aber heftig an zu regnen und viele Leute rennen schnell ins Trockene. Weil ihm hingegen der Regen gefält, läuft er staftdessen in halbem Tempo weiter und kommt deshalb 8 min späfer zu Hause an. Wie weit ist er gekommen, bevor es angefangen hat zu regnen?

Question

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Um das Problem zu lösen, analysieren wir zunächst die gegebenen Informationen:

- **Gesamtdistanz (D):** 2,1 km
- **Normale Gehzeit (T):** 20 Minuten
- **Verzögerung durch Regen:** 8 Minuten (insgesamt 28 Minuten)

**Schritt 1:** Bestimmung der normalen Gehgeschwindigkeit

Die normale Gehgeschwindigkeit $$ v $$ berechnet sich aus der Gesamtdistanz und der normalen Gehzeit:
$$
v = \frac{D}{T} = \frac{2{,}1\, \text{km}}{20\, \text{Minuten}} = 0{,}105\, \text{km/Minute}
$$

**Schritt 2:** Aufteilung der Strecke

Sei $$ d $$ die Strecke, die Sergej vor Beginn des Regens zurückgelegt hat. Danach verbleiben $$ D - d $$ Kilometer, die er bei halber Geschwindigkeit läuft.

**Schritt 3:** Zeitaufwand berechnen

Die gesamte benötigte Zeit setzt sich zusammen aus:
- Zeit vor dem Regen: $$ \frac{d}{v} $$
- Zeit nach dem Regen: $$ \frac{D - d}{v/2} = \frac{2(D - d)}{v} $$

Die Gesamtlaufzeit beträgt 28 Minuten:
$$
\frac{d}{v} + \frac{2(D - d)}{v} = 28
$$

**Schritt 4:** Gleichung lösen

Setzen wir die Werte ein:
$$
\frac{d}{0{,}105} + \frac{2(2{,}1 - d)}{0{,}105} = 28
$$
$$
\frac{d + 4{,}2 - 2d}{0{,}105} = 28
$$
$$
\frac{4{,}2 - d}{0{,}105} = 28
$$
$$
4{,}2 - d = 28 \times 0{,}105
$$
$$
4{,}2 - d = 2{,}94
$$
$$
d = 4{,}2 - 2{,}94 = 1{,}26\, \text{km}
$$

**Antwort:** Sergej kam **1,26 Kilometer** zurück, bevor es angefangen hat zu regnen.
Sergej ist 1,26 Kilometer weit gelaufen, bevor es angefangen hat zu regnen.

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