Aufgabe H Betrachten \$ie das Herz. Es ist symmetrisch und wurde aus zwei gleich großen Kreisen und einem auf der Spitze stehenden Quadrat, die sich alle drei gegenseitig berühren, konstruiert. Die beiden unteren Seiten des Quadrats sind so weit verlängert worden, bis sie jeweils einen Kreis berühren. Wie groß ist der Radius der Kreise, wenn das Quadrat den Flächeninhalt 32 hat? Geben das Ergebnis möglichst weit vereinfacht an.

Question

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Um den Radius der Kreise zu bestimmen, wenn das Quadrat einen Flächeninhalt von 32 hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Flächeninhalt des Quadrats**: Der Flächeninhalt $$ A $$ eines Quadrats mit der Seitenlänge $$ s $$ ist gegeben durch:
   $$
   A = s^2
   $$
   Da der Flächeninhalt des Quadrats 32 beträgt, haben wir:
   $$
   s^2 = 32 \implies s = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
   $$

2. **Position der Kreise und des Quadrats**: Das Quadrat steht auf der Spitze, und die beiden unteren Seiten des Quadrats berühren die Kreise. Da die Kreise gleich groß sind und sich berühren, können wir den Radius der Kreise als $$ r $$ bezeichnen.

3. **Geometrische Anordnung**: Das Quadrat hat eine Höhe von $$ s = 4\sqrt{2} $$. Die Kreise berühren die unteren Ecken des Quadrats. Die Höhe des Quadrats ist also der Abstand von der Spitze des Quadrats bis zur Linie, die die Kreise berührt.

4. **Verhältnis zwischen Quadrat und Kreisen**: Die Höhe des Quadrats ist gleich der Summe des Radius der Kreise und der Höhe des Quadrats. Da die Kreise sich berühren, ist der Abstand von der Unterkante des Quadrats bis zur Berührungslinie der Kreise gleich dem Radius $$ r $$.

Die Höhe des Quadrats ist also:
   $$
   h = r + s
   $$
   Da $$ s = 4\sqrt{2} $$, können wir die Gleichung umstellen:
   $$
   h = r + 4\sqrt{2}
   $$

5. **Verhältnis der Kreise**: Da die Kreise sich berühren und die unteren Seiten des Quadrats die Kreise berühren, ist der Durchmesser der Kreise gleich der Seitenlänge des Quadrats:
   $$
   2r = s
   $$
   Setzen wir $$ s = 4\sqrt{2} $$ ein:
   $$
   2r = 4\sqrt{2} \implies r = 2\sqrt{2}
   $$

6. **Ergebnis**: Der Radius der Kreise ist also:
   $$
   r = 2\sqrt{2}
   $$

Zusammenfassend ist der Radius der Kreise $$ r = 2\sqrt{2} $$.
Der Radius der Kreise ist $$ r = 2\sqrt{2} $$.

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