Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}:-14 x_{1}-4 x_{3}=56 \) und \( \mathrm{E}_{2}: 7 x_{1}+2 x_{3}=-196 \) Die Ebene F ist parallel zu \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . \[ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} \]

Um die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, beginnen wir mit den gegebenen Ebenen und deren Normalenvektoren. Die Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) sind parallel, was bedeutet, dass deren Normalenvektoren gleich gerichtet sind. Der Normalenvektor von \( \mathrm{E}_{1} \) ist \( \vec{n_1} = (-14, 0, -4) \) und von \( \mathrm{E}_{2} \) ist \( \vec{n_2} = (7, 0, 2) \). Um die Abstand zwischen den Ebenen zu berechnen, setzen wir die Gleichungen um. Für \( \mathrm{E}_{1} \) ist die Gleichung \( -14 x_{1} - 4 x_{3} = 56 \), was wir umschreiben können zu \( 14 x_{1} + 4 x_{3} = -56 \). Für \( \mathrm{E}_{2} \) lautet die umgeformte Gleichung \( 7 x_{1} + 2 x_{3} = -196 \). Nun müssen wir den Abstand zwischen diesen beiden parallelen Ebenen \( d \) berechnen, indem wir einen Punkt auf \( \mathrm{E}_{2} \) finden. Es genügt ein beliebiger Punkt, z.B. indem wir \( x_1 = 0 \) und \( x_3 = -98 \) setzen, was uns den Punkt \( (0, 0, -98) \) auf \( \mathrm{E}_{2} \) gibt. Den Abstand berechnen wir wie folgt: \[ d = \frac{|a_1(x_1) + b_1(x_3) + c_1 - a_2(x_1) - b_2(x_3) - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Das ergibt sich zu \[ d = \frac{|14(0) + 4(-98) + 56|}{\sqrt{(-14)^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|-392 + 56|}{\sqrt{196 + 16}} = \frac{336}{\sqrt{212}} = 24. \] Da die Ebene F denselben Abstand von beiden Ebenen haben soll, kann sie entweder \( 24 \) Einheiten über \( \mathrm{E}_{1} \) oder \( 24 \) Einheiten unter \( \mathrm{E}_{2} \) liegen. Wählen wir die erste Variante: Die Gleichung der gesuchten Ebene \( \mathrm{F} \) wäre dann: \[ \mathrm{F}: -14x_{1} - 4x_{3} = 56 + 24 \quad \text{oder} \quad -14x_{1} - 4x_{3} = 80. \] Somit haben wir die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \): \[ \mathrm{F}: -14x_{1} - 4x_{3} = 80. \]