Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}:-14 x_{1}-4 x_{3}=56 $$ und $$ \mathrm{E}_{2}: 7 x_{1}+2 x_{3}=-196 $$ Die Ebene F ist parallel zu $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . $$ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} $$

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist und von beiden denselben Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Normale Vektoren prüfen:**
   Die Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ sind gegeben durch:
   $$
   \mathrm{E}_{1}: -14 x_{1} - 4 x_{3} = 56
   $$
   $$
   \mathrm{E}_{2}: 7 x_{1} + 2 x_{3} = -196
   $$
   
   Die Normalenvektoren dieser Ebenen sind:
   $$
   \mathbf{n}_{1} = (-14,\, 0,\, -4)
   $$
   $$
   \mathbf{n}_{2} = (7,\, 0,\, 2)
   $$
   
   Da $$ \mathbf{n}_{2} = -\frac{1}{2} \mathbf{n}_{1} $$, sind die Ebenen parallel.

2. **Ebene $$ \mathrm{F} $$ bestimmen:**
   Da $$ \mathrm{F} $$ parallel zu $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist, hat sie dieselbe Normalenrichtung. Wir können also die Gleichung von $$ \mathrm{F} $$ in der Form:
   $$
   7 x_{1} + 2 x_{3} = d
   $$
   ansetzen.

3. **Bestimmung von $$ d $$:**
   Da $$ \mathrm{F} $$ den gleichen Abstand zu $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ haben soll, muss $$ d $$ der arithmetische Mittelwert der rechten Seiten der Gleichungen von $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ sein.

Die rechte Seite von $$ \mathrm{E}_{1} $$ nach Umformung:
   $$
   7 x_{1} + 2 x_{3} = -28
   $$
   
   Die rechte Seite von $$ \mathrm{E}_{2} $$ lautet:
   $$
   7 x_{1} + 2 x_{3} = -196
   $$
   
   Der Mittelwert:
   $$
   d = \frac{-28 + (-196)}{2} = \frac{-224}{2} = -112
   $$

4. **Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:**
   Somit lautet die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
   $$
   7 x_{1} + 2 x_{3} = -112
   $$

**Antwort:**
$$
\mathrm{F}: \; 7\,x_{1} + 2\,x_{3} = -112
$$
Die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ ist: $$ 7\,x_{1} + 2\,x_{3} = -112 $$

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und
Die Ebene F ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.
Bestimme eine Gleichung der Ebene F .

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Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und Die Ebene F ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .