En un triángulo rectángulo, los lados menores
miden 3 cm y 5 cm . Si el mayor de los ángulos
agudos mide , indica el valor de:

Ask by Carrillo Adkins. in Peru

Mar 28,2025

Question

En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 cm y 5 cm . Si el mayor de los ángulos agudos mide $$ \theta $$, indica el valor de: $$ P=3 \operatorname{sen}^{2} \theta-5 \cos ^{2} \theta $$

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Consideramos un triángulo rectángulo con catetos de medidas $$3$$ cm y $$5$$ cm, de modo que la hipotenusa es
$$
\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
$$
El ángulo $$ \theta $$ es el mayor de los ángulos agudos, por lo que es el que se opone al lado de mayor longitud, es decir, al lado de $$5$$ cm.

Para el ángulo $$ \theta $$:
$$
\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{34}} \quad\text{y}\quad \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{34}}.
$$

Elevamos al cuadrado:
$$
\sin^2 \theta = \frac{25}{34}, \quad \cos^2 \theta = \frac{9}{34}.
$$

Sustituimos en la expresión $$ P $$:
$$
P = 3\sin^2\theta - 5\cos^2\theta = 3\left(\frac{25}{34}\right) - 5\left(\frac{9}{34}\right).
$$

Realizando las operaciones:
$$
P = \frac{75}{34} - \frac{45}{34} = \frac{75-45}{34} = \frac{30}{34}.
$$

Simplificamos:
$$
P = \frac{15}{17}.
$$
El valor de $$ P $$ es $$ \frac{15}{17} $$.

En un triángulo rectángulo, los lados menores
miden 3 cm y 5 cm . Si el mayor de los ángulos
agudos mide , indica el valor de:

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