Calcule la derivadas Parciaies $$ \frac{\partial f}{d x} \frac{d f}{\partial y} \frac{\partial f}{d z} $$ de la siguientes funciones $$ F(x, y)=e^{2 x^{2}+x y+y^{2}} $$

Question

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Para calcular las derivadas parciales de la función $$ F(x, y) = e^{2x^2 + xy + y^2} $$, primero necesitamos encontrar las derivadas parciales con respecto a $$ x $$ y $$ y $$.

### Derivada parcial con respecto a $$ x $$

Utilizamos la regla de la cadena para derivar $$ F $$ con respecto a $$ x $$:

$$
\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( e^{2x^2 + xy + y^2} \right) = e^{2x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + xy + y^2)
$$

Calculamos la derivada del exponente:

$$
\frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + xy + y^2) = 4x + y
$$

Por lo tanto, la derivada parcial con respecto a $$ x $$ es:

$$
\frac{\partial F}{\partial x} = e^{2x^2 + xy + y^2} (4x + y)
$$

### Derivada parcial con respecto a $$ y $$

Ahora, calculamos la derivada parcial con respecto a $$ y $$:

$$
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{d}{dy} \left( e^{2x^2 + xy + y^2} \right) = e^{2x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + xy + y^2)
$$

Calculamos la derivada del exponente:

$$
\frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + xy + y^2) = x + 2y
$$

Por lo tanto, la derivada parcial con respecto a $$ y $$ es:

$$
\frac{\partial F}{\partial y} = e^{2x^2 + xy + y^2} (x + 2y)
$$

### Resumen de las derivadas parciales

- $$ \frac{\partial F}{\partial x} = e^{2x^2 + xy + y^2} (4x + y) $$
- $$ \frac{\partial F}{\partial y} = e^{2x^2 + xy + y^2} (x + 2y) $$

### Producto de las derivadas parciales

Ahora, si queremos calcular el producto de las derivadas parciales:

$$
\frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial F}{\partial y} = \left( e^{2x^2 + xy + y^2} (4x + y) \right) \cdot \left( e^{2x^2 + xy + y^2} (x + 2y) \right)
$$

Esto se simplifica a:

$$
= e^{2(2x^2 + xy + y^2)} (4x + y)(x + 2y)
$$

### Conclusión

Las derivadas parciales de la función $$ F(x, y) $$ son:

$$
\frac{\partial F}{\partial x} = e^{2x^2 + xy + y^2} (4x + y)
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = e^{2x^2 + xy + y^2} (x + 2y)
$$

Y el producto de estas derivadas parciales es:

$$
\frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial F}{\partial y} = e^{2(2x^2 + xy + y^2)} (4x + y)(x + 2y)
$$
Las derivadas parciales de la función $$ F(x, y) = e^{2x^2 + xy + y^2} $$ son: $$ \frac{\partial F}{\partial x} = e^{2x^2 + xy + y^2} (4x + y) $$ $$ \frac{\partial F}{\partial y} = e^{2x^2 + xy + y^2} (x + 2y) $$ El producto de estas derivadas parciales es: $$ \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial F}{\partial y} = e^{2(2x^2 + xy + y^2)} (4x + y)(x + 2y) $$

Calcule la derivadas Parciaies de la siguientes funciones

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Derivada parcial con respecto a

Derivada parcial con respecto a

Resumen de las derivadas parciales

Producto de las derivadas parciales

Conclusión

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