2. Sea $$ \gamma:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ dada por $$ \gamma(t)=\left(\frac{3 a t}{1+t^{3}}, \frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}\right) $$. Pruebe que en $$ t=0, \gamma $$ es tangente al eje $$ X $$

Question

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Para probar que la curva $$ \gamma(t) $$ es tangente al eje $$ X $$ en $$ t=0 $$, debemos calcular la derivada de $$ \gamma(t) $$ en ese punto y verificar que la componente $$ y $$ de la derivada sea cero.

1. **Definición de la curva**:
   $$
   \gamma(t) = \left(\frac{3 a t}{1+t^{3}}, \frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}\right)
   $$

2. **Calcular la derivada $$ \gamma'(t) $$**:
   Para esto, derivamos cada componente de $$ \gamma(t) $$ con respecto a $$ t $$.

- Componente $$ x $$:
     $$
     x(t) = \frac{3 a t}{1+t^{3}}
     $$
   - Componente $$ y $$:
     $$
     y(t) = \frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}
     $$

3. **Derivadas**:
   Usamos la regla del cociente para derivar ambas componentes.

- Derivada de $$ x(t) $$:
     $$
     x'(t) = \frac{(1+t^{3})(3a) - 3at(3t^{2})}{(1+t^{3})^{2}}
     $$
   - Derivada de $$ y(t) $$:
     $$
     y'(t) = \frac{(1+t^{3})(6at) - 3at^{2}(3t^{2})}{(1+t^{3})^{2}}
     $$

4. **Evaluar en $$ t=0 $$**:
   Ahora evaluamos $$ x'(0) $$ y $$ y'(0) $$.

- Para $$ x'(0) $$:
     $$
     x'(0) = \frac{(1+0)(3a) - 3a(0)(0)}{(1+0)^{2}} = 3a
     $$

- Para $$ y'(0) $$:
     $$
     y'(0) = \frac{(1+0)(6a(0)) - 3a(0^{2})(0)}{(1+0)^{2}} = 0
     $$

5. **Conclusión**:
   En $$ t=0 $$, tenemos que $$ y'(0) = 0 $$ y $$ x'(0) = 3a $$. Esto significa que la curva $$ \gamma(t) $$ es tangente al eje $$ X $$ en $$ t=0 $$ porque la derivada en la dirección $$ y $$ es cero, lo que indica que no hay cambio en la dirección vertical en ese punto.

Por lo tanto, hemos probado que en $$ t=0 $$, $$ \gamma $$ es tangente al eje $$ X $$.
En $$ t=0 $$, la curva $$ \gamma(t) $$ es tangente al eje $$ X $$ porque la derivada en la dirección $$ y $$ es cero.

Sea dada por . Pruebe que en
es tangente al eje

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Sea dada por . Pruebe que en es tangente al eje