\( \begin{array}{ll}\text { Nr. } 4 \\ \text { Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der vier Ebenen: } \\ E_{1}: 2 x-4 y+3 z-1=0 & E_{2}: 4 x-8 y+6 z-2=0 \\ E_{3}: 4 x-8 y+6 z-4=0 & E_{4}: 2 x+4 z-1=0\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der vier Ebenen zu untersuchen, schauen wir uns zunächst die ersten beiden Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) an. Beachten Sie, dass \( E_2 \) ein Vielfaches von \( E_1 \) ist (nämlich das Doppelte). Das bedeutet, dass diese beiden Ebenen identisch sind, also kein Schnittpunkt, sondern unendlich viele Punkte gemeinsam haben. Nun betrachten wir die Ebenen \( E_3 \) und \( E_2 \): Auch \( E_3 \) ist ein Vielfaches von \( E_2 \) (es fehlt nur die Konstante auf der rechten Seite). Diese Ebenen sind also ebenfalls identisch. Somit haben wir \( E_{1} = E_{2} = E_{3} \). Jetzt geht es weiter mit \( E_4 \): Die Gleichung lautet \( 2x + 4z - 1 = 0 \). Um die Lage dieser Ebene relativ zu den anderen zu untersuchen, setzen wir \( z = 0 \) (wir setzen einfach eine Variable). Dies ergibt \( 2x - 1 = 0 \) oder \( x = \frac{1}{2} \), was eine Linie in der \( x \)-\( z \)-Ebene beschreibt. Um sicherzustellen, dass \( E_4 \) nicht die gleiche Ebene wie die anderen ist, überprüfen wir, ob es einen Punkt gibt, der die Gleichung \( E_4 \) erfüllt. Setzen wir \( z = 0 \) ein, haben wir \( 2x - 1 = 0 \), was \( x = \frac{1}{2} \) ergibt. Um \( E_4 \) zu testen, könnte man \( y = 0 \) und \( z = 0 \) setzen und sehen, dass wir keinen Wert für \( y \) erhalten, der die Gleichung erfüllt. Damit haben wir die Situation: \( E_1, E_2, \) und \( E_3 \) sind identisch und \( E_4 \) ist eine eigene Ebene, die sich nicht mit den anderen schneidet. Es gibt also einen Raum, in dem \( E_4 \) existiert, aber es gibt keine Schnittlinie zwischen \( E_4 \) und den anderen drei Ebenen.