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Hallar el domenio y elrango de

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Nov 04,2024

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Answer

El dominio es y el rango es .

Solution

Para encontrar el dominio y el rango de la función , debemos considerar las condiciones que deben cumplirse para que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea válida.

Dominio

  1. Condición de la raíz cuadrada: La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero:
    Esto implica que tanto el numerador como el denominador deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
  2. Numerador: implica que .
  3. Denominador: implica que .
Ahora, analizamos los signos de :
  • Intervalo :
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Resultado: (positivo)
  • Intervalo :
    • En : (cero)
    • Para : (positivo) y (negativo)
    • Resultado: (negativo)
  • Intervalo :
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Resultado: (positivo)

Resumen del dominio

El dominio de la función es:

Rango

Para determinar el rango, observamos que es una raíz cuadrada, por lo que siempre será mayor o igual a cero.
  • Cuando , .
  • A medida que se aproxima a desde la izquierda, se aproxima a un valor negativo, por lo que no está definido en ese punto.
  • Cuando se aproxima a desde la derecha, tiende a , lo que implica que también tiende a .
Por lo tanto, el rango de la función es:

Resumen final

  • Dominio:
  • Rango:

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The Deep Dive

Para hallar el dominio de la función , necesitamos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz sea no negativa. Esto significa que .
Primero, determinamos los puntos críticos al igualar a cero el numerador y el denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Observamos el signo de la fracción en los intervalos , , y :
  1. En el intervalo , ambos el numerador y denominador son negativos, por lo que el cociente es positivo.
  2. En el intervalo , el numerador es positivo y el denominador negativo, por lo que el cociente es negativo.
  3. En el intervalo , ambos son positivos, por lo que el cociente es positivo.
Para que la raíz sea válida, elegimos los intervalos donde el cociente es no negativo: . Por lo tanto, el dominio es .
Ahora, para el rango, dado que la función está compuesta por una raíz cuadrada, siempre tendremos valores de . Para en el dominio definido, puede alcanzar valores que dependen del comportamiento asintótico de la función.
Si consideramos el límite cuando tiende a desde el lado derecho, . Y a medida que desde la derecha, . Por lo tanto, el rango de la función es .
Resumiendo, el dominio es y el rango es .

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