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El dominio es
y el rango es
.
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The Deep Dive
Para hallar el dominio de la función
, necesitamos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz sea no negativa. Esto significa que
.
Primero, determinamos los puntos críticos al igualar a cero el numerador y el denominador:
- Numerador:
→ - Denominador:
→
Observamos el signo de la fracción en los intervalos
,
, y
:
- En el intervalo
, ambos el numerador y denominador son negativos, por lo que el cociente es positivo. - En el intervalo
, el numerador es positivo y el denominador negativo, por lo que el cociente es negativo. - En el intervalo
, ambos son positivos, por lo que el cociente es positivo.
Para que la raíz sea válida, elegimos los intervalos donde el cociente es no negativo:
. Por lo tanto, el dominio es
.
Ahora, para el rango, dado que la función está compuesta por una raíz cuadrada, siempre tendremos valores de
. Para
en el dominio definido,
puede alcanzar valores que dependen del comportamiento asintótico de la función.
Si consideramos el límite cuando
tiende a
desde el lado derecho,
. Y a medida que
desde la derecha,
. Por lo tanto, el rango de la función es
.
Resumiendo, el dominio es
y el rango es
.