Question
Upstudy AI Solution
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Answer
El dominio es
y el rango es
.
Solution
Para encontrar el dominio y el rango de la función
, debemos considerar las condiciones que deben cumplirse para que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea válida.
Dominio
-
Condición de la raíz cuadrada: La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero:Esto implica que tanto el numerador como el denominador deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
-
Numerador:
implica que . -
Denominador:
implica que .
Ahora, analizamos los signos de
:
-
Intervalo
: -
(negativo) -
(negativo) - Resultado:
(positivo)
-
-
Intervalo
: - En
: (cero) - Para
: (positivo) y (negativo) - Resultado:
(negativo)
- En
-
Intervalo
: -
(positivo) -
(positivo) - Resultado:
(positivo)
-
Resumen del dominio
El dominio de la función es:
Rango
Para determinar el rango, observamos que
es una raíz cuadrada, por lo que
siempre será mayor o igual a cero.
- Cuando
, . - A medida que
se aproxima a desde la izquierda, se aproxima a un valor negativo, por lo que no está definido en ese punto. - Cuando
se aproxima a desde la derecha, tiende a , lo que implica que también tiende a .
Por lo tanto, el rango de la función es:
Resumen final
- Dominio:
- Rango:
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The Deep Dive
Para hallar el dominio de la función
, necesitamos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz sea no negativa. Esto significa que
.
Primero, determinamos los puntos críticos al igualar a cero el numerador y el denominador:
- Numerador:
→ - Denominador:
→
Observamos el signo de la fracción en los intervalos
,
, y
:
- En el intervalo
, ambos el numerador y denominador son negativos, por lo que el cociente es positivo. - En el intervalo
, el numerador es positivo y el denominador negativo, por lo que el cociente es negativo. - En el intervalo
, ambos son positivos, por lo que el cociente es positivo.
Para que la raíz sea válida, elegimos los intervalos donde el cociente es no negativo:
. Por lo tanto, el dominio es
.
Ahora, para el rango, dado que la función está compuesta por una raíz cuadrada, siempre tendremos valores de
. Para
en el dominio definido,
puede alcanzar valores que dependen del comportamiento asintótico de la función.
Si consideramos el límite cuando
tiende a
desde el lado derecho,
. Y a medida que
desde la derecha,
. Por lo tanto, el rango de la función es
.
Resumiendo, el dominio es
y el rango es
.