Hallar el domenio y elrango de $$ y=\sqrt{\frac{x+5}{2 x-3}} $$

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Para encontrar el dominio y el rango de la función $$ y = \sqrt{\frac{x+5}{2x-3}} $$, debemos considerar las condiciones que deben cumplirse para que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea válida. ### Dominio 1. **Condición de la raíz cuadrada**: La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero: $$ \frac{x+5}{2x-3} \geq 0 $$ Esto implica que tanto el numerador como el denominador deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). 2. **Numerador**: $$ x + 5 \geq 0 $$ implica que $$ x \geq -5 $$. 3. **Denominador**: $$ 2x - 3 \neq 0 $$ implica que $$ x \neq \frac{3}{2} $$. Ahora, analizamos los signos de $$ \frac{x+5}{2x-3} $$: - **Intervalo $$ (-\infty, -5) $$**: - $$ x + 5 < 0 $$ (negativo) - $$ 2x - 3 < 0 $$ (negativo) - Resultado: $$ \frac{x+5}{2x-3} > 0 $$ (positivo) - **Intervalo $$ [-5, \frac{3}{2}) $$**: - En $$ x = -5 $$: $$ \frac{-5 + 5}{2(-5) - 3} = \frac{0}{-10 - 3} = 0 $$ (cero) - Para $$ -5 < x < \frac{3}{2} $$: $$ x + 5 > 0 $$ (positivo) y $$ 2x - 3 < 0 $$ (negativo) - Resultado: $$ \frac{x+5}{2x-3} < 0 $$ (negativo) - **Intervalo $$ \left(\frac{3}{2}, \infty\right) $$**: - $$ x + 5 > 0 $$ (positivo) - $$ 2x - 3 > 0 $$ (positivo) - Resultado: $$ \frac{x+5}{2x-3} > 0 $$ (positivo) ### Resumen del dominio El dominio de la función es: $$ D = [-5, \frac{3}{2}) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right) $$ ### Rango Para determinar el rango, observamos que $$ y = \sqrt{\frac{x+5}{2x-3}} $$ es una raíz cuadrada, por lo que $$ y $$ siempre será mayor o igual a cero. - Cuando $$ x = -5 $$, $$ y = 0 $$. - A medida que $$ x $$ se aproxima a $$ \frac{3}{2} $$ desde la izquierda, $$ \frac{x+5}{2x-3} $$ se aproxima a un valor negativo, por lo que $$ y $$ no está definido en ese punto. - Cuando $$ x $$ se aproxima a $$ \frac{3}{2} $$ desde la derecha, $$ \frac{x+5}{2x-3} $$ tiende a $$ +\infty $$, lo que implica que $$ y $$ también tiende a $$ +\infty $$. Por lo tanto, el rango de la función es: $$ R = [0, \infty) $$ ### Resumen final - **Dominio**: $$ D = [-5, \frac{3}{2}) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right) $$ - **Rango**: $$ R = [0, \infty) $$ El dominio es $$ D = [-5, \frac{3}{2}) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right) $$ y el rango es $$ R = [0, \infty) $$.

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