Derive the intrinsic equation of catenary.
कैटेनरी का नैज समीकरण समझाइए।

कैटेनरी एक ऐसी वक्र (curve) है जो किसी लटकती हुई रज्जु (string) की आकृति को दर्शाती है। इसे समझने के लिए, मान लीजिए कि एक रज्जु की दो छोर हैं और यह गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में लटक रही है। कैटेनरी का नैज समीकरण y = a cosh(x/a) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ “a” एक स्थिरांक है जो रज्जु की लटकने की मात्रा को दर्शाता है। इस वक्र की विशेषता है कि यह हमेशा न्यूनतम ऊर्जा स्थिति में होती है।

कैटेनरी का नैज समीकरण न केवल गणित में महत्वपूर्ण है बल्कि इसकी वास्तविक दुनिया में भी बहुत सी उपयोगिताएँ हैं। उदाहरण के लिए, पुलों में, कैटेनरी डिजाइन का उपयोग किया जाता है जहाँ रज्जु या चेन को एक ढाल वाली संरचना पर लटकाया जाता है, ताकि वे गुरुत्वाकर्षण के बलों को कुशलता से वितरित कर सकें। इस प्रकार, कैटेनरी ना सिर्फ गणितीय सिद्धांत है, बल्कि आधुनिक इंजीनियरिंग में एक महत्वपूर्ण अवधारणा भी है।