$$ \sin x - \cos ( - x ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere l'equazione $$ \sin x - \cos ( - x ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$, iniziamo a semplificare l'espressione.

Ricordiamo che $$ \cos(-x) = \cos x $$. Quindi, l'equazione diventa:

$$
\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Ora possiamo riscrivere l'equazione come:

$$
\sin x = \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Per risolvere questa equazione, possiamo utilizzare l'identità $$ \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $$ e cercare di esprimere tutto in termini di seno o coseno. Tuttavia, un approccio più diretto è quello di isolare $$ \sin x $$ e $$ \cos x $$.

Possiamo anche elevare al quadrato entrambi i lati dell'equazione per ottenere:

$$
\sin^2 x = \left(\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
$$

Espandendo il lato destro:

$$
\sin^2 x = \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x + \frac{1}{2}
$$

Utilizzando l'identità $$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$, possiamo sostituire $$ \sin^2 x $$:

$$
1 - \cos^2 x = \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x + \frac{1}{2}
$$

Riorganizzando l'equazione:

$$
1 - \frac{1}{2} = 2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x
$$

$$
\frac{1}{2} = 2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x
$$

Moltiplicando entrambi i lati per 2 per semplificare:

$$
1 = 4\cos^2 x + 2\sqrt{2} \cos x
$$

Riorganizzando:

$$
4\cos^2 x + 2\sqrt{2} \cos x - 1 = 0
$$

Questa è un'equazione quadratica in $$ \cos x $$. Possiamo usare la formula quadratica $$ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$, dove $$ a = 4 $$, $$ b = 2\sqrt{2} $$, e $$ c = -1 $$.

Calcoliamo il discriminante:

$$
b^2 - 4ac = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 8 + 16 = 24
$$

Ora possiamo trovare le soluzioni per $$ \cos x $$:

$$
\cos x = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{8} = \frac{-2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{6}}{8} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}
$$

Le due soluzioni per $$ \cos x $$ sono:

1. $$ \cos x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $$
2. $$ \cos x = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$

Ora possiamo trovare i valori di $$ x $$ corrispondenti a queste soluzioni utilizzando la funzione inversa del coseno. Ricordiamo che $$ \cos x $$ è definito nell'intervallo $$[-1, 1]$$, quindi dobbiamo verificare se le soluzioni sono valide.

Infine, possiamo trovare i valori di $$ x $$ utilizzando:

$$
x = \cos^{-1}\left(\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = -\cos^{-1}\left(\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\right) + 2k\pi
$$

dove $$ k $$ è un intero.

Per la seconda soluzione, verifichiamo se è valida nel range di $$ \cos x $$. Se non lo è, scartiamo quella soluzione.

In conclusione, le soluzioni per $$ x $$ sono date dalle espressioni sopra, a condizione che i valori di $$ \cos x $$ siano validi.
Risolvendo l'equazione $$ \sin x - \cos(-x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$, troviamo che $$ \cos x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $$ e $$ \cos x = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$. Verifichiamo i valori di $$ x $$ corrispondenti a queste soluzioni.

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