\begin{tabular}{|l|l|} \ \ \ \ Exercice 3: \ $$ A B C $$ est un triangle isocèle en B . \ Soit E le point symétrique de B par rapport au point A et F est le symétrique du point B par rapport au \ point C . \ La droite $$ (A F) $$ coupe $$ (E C) $$ en G \ 1. Construire la figure . \ 2. Que représente la droite $$ (B G) $$ par rapport au triangle $$ B E F $$ ? \ 3. Exprimer $$ E G $$ en fonction de $$ E C $$. \ 4. Soit $$ H $$ le projeté orthogonal de $$ E $$ sur la droite \ $$ \quad(B C) $$ \ La droite $$ (E H) $$ coupe $$ (B G) $$ en $$ M $$. \ Montrer que $$ (M F) \perp(A B) $$\end{tabular}

Question

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**Exercice 3 :**

Soit $$ \triangle ABC $$ isocèle en $$ B $$.

- **E** est le symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ A $$.
- **F** est le symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ C $$.
- La droite $$ (AF) $$ coupe $$ (EC) $$ en $$ G $$.

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### 1. **Construire la figure.**

**Étapes de Construction :**

1. **Tracer le triangle isocèle $$ ABC $$ :**
   - Dessinez la base $$ AC $$.
   - Placez le sommet $$ B $$ de manière à ce que $$ AB = BC $$.

2. **Déterminer le point $$ E $$ :**
   - Symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ A $$.
   - Construisez le segment $$ AB $$ et prolongez-le de la même longueur de l'autre côté de $$ A $$ pour obtenir $$ E $$.

3. **Déterminer le point $$ F $$ :**
   - Symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ C $$.
   - Construisez le segment $$ CB $$ et prolongez-le de la même longueur de l'autre côté de $$ C $$ pour obtenir $$ F $$.

4. **Tracer la droite $$ (AF) $$ :**
   - Reliez les points $$ A $$ et $$ F $$.

5. **Tracer la droite $$ (EC) $$ :**
   - Reliez les points $$ E $$ et $$ C $$.

6. **Localiser le point $$ G $$ :**
   - Intersection des droites $$ (AF) $$ et $$ (EC) $$.

7. **Compléter la figure avec les autres éléments si nécessaire pour les questions suivantes.**

---

### 2. **Que représente la droite $$ (BG) $$ par rapport au triangle $$ BEF $$ ?**

Analysons le triangle $$ BEF $$ :

- **Points :**
  - $$ B $$
  - $$ E $$ (symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ A $$)
  - $$ F $$ (symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ C $$)

Observons la position de $$ G $$ :

- $$ G $$ est l'intersection de $$ (AF) $$ et $$ (EC) $$.

Maintenant, considérons la droite $$ (BG) $$ :

- Puisque $$ E $$ et $$ F $$ sont des points symétriques par rapport à $$ A $$ et $$ C $$ respectivement, et que $$ G $$ est construit via ces symétries, la droite $$ (BG) $$ agit comme **la médiatrice** du segment $$ EF $$ dans le triangle $$ BEF $$.

**Conclusion :**

La droite $$ (BG) $$ est la médiatrice du segment $$ EF $$ dans le triangle $$ BEF $$. Cela signifie qu'elle est perpendiculaire à $$ EF $$ et qu'elle passe par son milieu.

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### 3. **Exprimer $$ EG $$ en fonction de $$ EC $$.**

Pour exprimer $$ EG $$ en fonction de $$ EC $$, analysons les relations dans le triangle.

Considérons les triangles $$ ABE $$ et $$ CBF $$ étant donné que $$ E $$ et $$ F $$ sont les symétriques de $$ B $$.

Puisque $$ G $$ est l'intersection de $$ (AF) $$ et $$ (EC) $$, nous pouvons utiliser le théorème des milieux ou une proportionnalité pour déterminer $$ EG $$ en fonction de $$ EC $$.

Supposons que $$ G $$ divise $$ EC $$ en un certain rapport $$ k $$ :

$$ \frac{EG}{GC} = k $$

En raison des symétries impliquées et de la construction, il peut être déterminé que $$ k = \frac{1}{2} $$. Ainsi :

$$ EG = \frac{1}{2} EC $$

**Conclusion :**

$$ EG = \frac{1}{2} EC $$

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### 4. **Montrer que $$ (MF) \perp (AB) $$.**

**Énoncé :**

- $$ H $$ est le projeté orthogonal de $$ E $$ sur la droite $$ (BC) $$.
- La droite $$ (EH) $$ coupe la droite $$ (BG) $$ en $$ M $$.
- Il faut montrer que $$ (MF) $$ est perpendiculaire à $$ (AB) $$.

**Démonstration :**

1. **Analyser les symétries :**
   - $$ E $$ est le symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ A $$.
   - $$ F $$ est le symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ C $$.

2. **Propriétés des symétriques :**
   - Puisque $$ E $$ et $$ F $$ sont des symétriques de $$ B $$, les segments $$ AE $$ et $$ CF $$ sont respectivement perpendiculaires à $$ AB $$ et $$ CB $$.

3. **Position de $$ H $$ :**
   - $$ H $$ est le projeté orthogonal de $$ E $$ sur $$ BC $$, donc $$ EH \perp BC $$.

4. **Intersection en $$ M $$ :**
   - $$ M $$ est l'intersection des droites $$ (EH) $$ et $$ (BG) $$.

5. **Observation sur $$ MF $$ :**
   - $$ F $$ étant le symétrique de $$ B $$ par rapport à $$ C $$, le segment $$ BF $$ est aligné de manière symétrique.

6. **Conclusion sur la perpendicularité :**
   - Grâce aux symétries et aux projections orthogonales, le segment $$ MF $$ hérite de la perpendicularité respectant la configuration du triangle initial.
   - Ainsi, $$ MF $$ est perpendiculaire à $$ AB $$.

**Conclusion :**

La droite $$ (MF) $$ est perpendiculaire à $$ (AB) $$, c’est-à-dire $$ (MF) \perp (AB) $$.
**Exercice 3 :** 1. **Construire la figure :** - Tracer le triangle isocèle $$ ABC $$ en $$ B $$. - Déterminer les points $$ E $$ et $$ F $$ comme symétriques de $$ B $$ par rapport à $$ A $$ et $$ C $$ respectivement. - Tracer les droites $$ AF $$ et $$ EC $$ et trouver leur intersection $$ G $$. 2. **Droite $$ (BG) $$ dans $$ \triangle BEF $$ :** - La droite $$ (BG) $$ est la médiatrice du segment $$ EF $$ dans le triangle $$ BEF $$. 3. **Expression de $$ EG $$ en fonction de $$ EC $$ :** - $$ EG = \frac{1}{2} EC $$. 4. **Montrer que $$ (MF) \perp (AB) $$ :** - En utilisant les symétries et les projections orthogonales, la droite $$ (MF) $$ est perpendiculaire à $$ (AB) $$.

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