$$ primitivef(x)=\frac{tanx}{cos^{2}x} $$

Question

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Pour résoudre le problème de la primitive de la fonction $$ f(x) = \frac{\tan x}{\cos^2 x} $$, nous devons d'abord simplifier la fonction. La fonction $$\tan x$$ peut être définie comme $$\frac{\sin x}{\cos x}$$. En conséquence, nous avons :

$$ f(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^3 x} $$

Maintenant, nous pouvons trouver la primitive de cette fonction. La primitive d'une fonction est une fonction whose derivative is the original function. Pour trouver la primitive de $$ \frac{\sin x}{\cos^3 x} $$, nous devons utiliser les techniques de calcul intégral.

La primitive de $$ \frac{\sin x}{\cos^3 x} $$ peut être trouvée en utilisant la substitution. Soit $$ u = \cos x $$, alors $$ du = -\sin x \, dx $$. La fonction deviendra :

$$ \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \int \frac{-1}{u^3} \, du $$

Maintenant, nous intégrons :

$$ \int \frac{-1}{u^3} \, du = -\int u^{-3} \, du = -\left( \frac{u^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{1}{2u^2} + C $$

Remplacer $$ u $$ par $$ \cos x $$ :

$$ \frac{1}{2\cos^2 x} + C $$

Donc, la primitive de $$ f(x) = \frac{\tan x}{\cos^2 x} $$ est :

$$ \int \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2\cos^2 x} + C $$

où $$ C $$ est la constante de la primitive.
La primitive de $$ f(x) = \frac{\tan x}{\cos^2 x} $$ est $$ \frac{1}{2\cos^2 x} + C $$.

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