FES-HO TU
Prova que els gràfics de les funcions
i
es tallen en algun punt de lintenal

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Mar 30,2025

Question

FES-HO TU Prova que els gràfics de les funcions $$ \quad f(x)=\sin x $$ i $$ g(x)=\frac{1}{x} $$ es tallen en algun punt de lintenal $$ \left(2 \pi, \frac{5 \pi}{2}\right) $$

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Consideramos la función $$ h(x)=\sin x-\frac{1}{x}. $$ Nuestro objetivo es demostrar que existe $$ c $$ en el intervalo $$\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$ tal que $$ h(c)=0 $$, lo que equivale a que los gráficos de $$\sin x$$ y $$\frac{1}{x}$$ se intersecten en ese punto. 1. **Continuidad de $$ h(x) $$:** Tanto $$\sin x$$ como $$\frac{1}{x}$$ son funciones continuas en el intervalo $$\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$ (recordamos que $$\frac{1}{x}$$ solo es discontinua en $$x=0$$, lo cual no ocurre en este intervalo). Por lo tanto, $$ h(x) $$ es continua en $$\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$. 2. **Evaluación de $$ h(x) $$ en los extremos del intervalo:** - En $$ x=2\pi $$: $$ h(2\pi) = \sin(2\pi)-\frac{1}{2\pi} = 0-\frac{1}{2\pi} = -\frac{1}{2\pi}. $$ Se tiene que $$ h(2\pi)<0 $$. - En $$ x=\frac{5\pi}{2} $$: Recordando que $$ \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, $$ se obtiene $$ h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)-\frac{1}{\frac{5\pi}{2}}=1-\frac{2}{5\pi}. $$ Dado que $$ \frac{2}{5\pi} < 1, $$ se concluye que $$ h\left(\frac{5\pi}{2}\right) > 0. $$ 3. **Aplicación del Teorema del Valor Intermedio:** El teorema afirma que si una función continua cambia de signo en un intervalo cerrado, entonces existe al menos un $$ c $$ en el intervalo abierto donde la función se anula. Como hemos visto, - $$ h(2\pi) < 0 $$ - $$ h\left(\frac{5\pi}{2}\right) > 0 $$ por lo que, por el Teorema del Valor Intermedio, existe al menos un $$ c $$ en $$\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$ tal que $$ h(c)=0. $$ Esto implica que $$ \sin c=\frac{1}{c}, $$ es decir, los gráficos de las funciones $$\sin x$$ y $$\frac{1}{x}$$ se intersectan en el punto $$(c,\sin c)$$. 4. **Conclusión:** Se ha demostrado que existe al menos un punto $$ c $$ en el intervalo $$\left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$ donde se cumple $$ \sin c=\frac{1}{c}. $$ Por lo tanto, los gráficos de las funciones $$ f(x)=\sin x $$ y $$ g(x)=\frac{1}{x} $$ se cortan en dicho intervalo. Existe al menos un punto $$ c $$ entre $$ 2\pi $$ y $$ \frac{5\pi}{2} $$ donde $$ \sin c = \frac{1}{c} $$. Esto significa que los gráficos de $$ \sin x $$ y $$ \frac{1}{x} $$ se intersectan en ese punto.

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