प्रश्नावली I (a) (a) यदि कोई कण एक सरल रेखा में चले और उसकी गति $$ x^{2}=a t^{2}+2 b t+c $$ द्वारा दी जाये,तो सिद्व करो कि उसका त्वरण $$ x^{3} $$ के व्युत्कमानुपाती होगा। If a particle is moving along a straight line and its velocity is given by $$ x^{2}=a t^{2}+2 b t+c $$, then prove that the anceleration is inversely proportional to $$ x^{3} $$

Question

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दी गई समस्या के अनुसार, एक कण सीधी रेखा पर चल रहा है और उसकी गति $$ x^{2} = a t^{2} + 2 b t + c $$ से दी गई है। हमें यह साबित करना है कि कण का त्वरण $$ x^{3} $$ के व्युत्कर अनुपाती है।

**समाधान:**

1. **प्रथम कदम: गति और स्थिति का संबंध स्थापित करना**

दिया गया है:
   $$
   x^{2} = a t^{2} + 2 b t + c
   $$
   
   इस समीकरण को समय के सापेक्ष कण की स्थिति $$ x $$ का वर्ग दर्शाता है।

2. **द्वितीयक कदम: गति ($$ v $$) निकालना**

गति $$ v $$ को स्थिति $$ x $$ का पहला अवकलज ($$ \frac{dx}{dt} $$) माना जाता है। पहले समीकरण को समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
   $$
   \frac{d}{dt}(x^{2}) = \frac{d}{dt}(a t^{2} + 2 b t + c)
   $$
   $$
   2x \frac{dx}{dt} = 2a t + 2b
   $$
   $$
   \frac{dx}{dt} = \frac{a t + b}{x}
   $$
   अतः, गति:
   $$
   v = \frac{a t + b}{x}
   $$

3. **तृतीयक कदम: त्वरण ($$ a $$) निकालना**

त्वरण $$ a $$ को गति का अवकलज ($$ \frac{dv}{dt} $$) माना जाता है:
   $$
   \frac{d}{dt}\left(\frac{a t + b}{x}\right) = \frac{a x - (a t + b) \frac{dx}{dt}}{x^{2}}
   $$
   पहले से प्राप्त $$ \frac{dx}{dt} = \frac{a t + b}{x} $$ को स्थानापन्न करते हैं:
   $$
   \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{a x - (a t + b)\left(\frac{a t + b}{x}\right)}{x^{2}}
   $$
   $$
   = \frac{a x^{2} - (a t + b)^{2}}{x^{3}}
   $$

4. **चतुर्थक कदम: $$ (a t + b)^{2} $$ को सरल करना**

$$
   (a t + b)^{2} = a^{2} t^{2} + 2 a b t + b^{2}
   $$
   
   पहले समीकरण से $$ x^{2} = a t^{2} + 2 b t + c $$ को पुनः व्यवस्थित करते हैं:
   $$
   a t^{2} + 2 b t = x^{2} - c
   $$
   
   अतः:
   $$
   (a t + b)^{2} = a(a t^{2}) + 2 a b t + b^{2} = a(x^{2} - c) + b^{2}
   $$

5. **पाँचवाँ कदम: त्वरण का अंतिम रूप**

अब, त्वरण समीकरण में:
   $$
   \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{a x^{2} - [a(x^{2} - c) + b^{2}]}{x^{3}} = \frac{a x^{2} - a x^{2} + a c - b^{2}}{x^{3}} = \frac{a c - b^{2}}{x^{3}}
   $$
   
   अतः,
   $$
   \text{त्वरण} = \frac{a c - b^{2}}{x^{3}}
   $$
   
   यह दर्शाता है कि त्वरण $$ x^{3} $$ के व्युत्कर अनुपाती है।

**निष्कर्ष:**

इस प्रकार, हमने साबित कर दिया कि कण का त्वरण $$ x^{3} $$ के व्युत्कर अनुपाती होता है।
कण का त्वरण $$ x^{3} $$ के व्युत्कर अनुपाती है।

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