3) В равнобедренном треугольнике с периметром 40 см основание в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника. 4) Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен $$ 65^{\circ} $$. Найдите остальные углы треугольника. 5) Один из углов прямоугольного треугольника равен $$ 60^{\circ} $$, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 6) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ иСД. Докажите, что $$ riangle А Д С= riangle С Е А . ~ $$ 7) Внешний угол треугольника равен $$ 140^{\circ} $$, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как З:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

Question

3) В равнобедренном треугольнике с периметром 40 см основание в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника. 4) Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен $$ 65^{\circ} $$. Найдите остальные углы треугольника. 5) Один из углов прямоугольного треугольника равен $$ 60^{\circ} $$, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 6) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ иСД. Докажите, что $$ 	riangle А Д С=	riangle С Е А . ~ $$ 7) Внешний угол треугольника равен $$ 140^{\circ} $$, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как З:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

UpStudy AI · Accepted Answer

**3) В равнобедренном треугольнике с периметром 40 см основание в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.**

Пусть боковая сторона равна $$ a $$, тогда основание равно $$ \frac{a}{2} $$.

Периметр треугольника:
$$
2a + \frac{a}{2} = 40
$$

Умножим все члены на 2, чтобы избавиться от дроби:
$$
4a + a = 80
$$
$$
5a = 80 \Rightarrow a = 16 \text{ см}
$$

Таким образом, основание:
$$
\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}
$$

**Ответ:** Стороны треугольника равны 16 см, 16 см и 8 см.

---

**4) Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен $$ 65^{\circ} $$. Найдите остальные углы треугольника.**

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Пусть один из этих углов равен $$ 65^{\circ} $$.

Обозначим вершинный угол как $$ \alpha $$.

Сумма углов треугольника:
$$
2 \times 65^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}
$$
$$
130^{\circ} + \alpha = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 50^{\circ}
$$

**Ответ:** Углы треугольника равны $$ 65^{\circ} $$, $$ 65^{\circ} $$ и $$ 50^{\circ} $$.

---

**5) Один из углов прямоугольного треугольника равен $$ 60^{\circ} $$, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.**

В прямоугольном треугольнике один из углов равен $$ 60^{\circ} $$, значит другой угол равен $$ 30^{\circ} $$.

Пусть меньший катет (противолежащий углу $$ 30^{\circ} $$) равен $$ x $$, тогда гипотенуза равна $$ 2x $$.

По условию:
$$
x + 2x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6 \text{ см}
$$
$$
\text{Гипотенуза} = 2x = 12 \text{ см}
$$

**Ответ:** Гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см.

---

**6) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ и СД. Докажите, что $$ \triangle АДС = \triangle СЕА $$.**

**Доказательство:**

1. В треугольнике АВС, $$ AB = CB $$ (равнобедренный).
2. Биссектрисы $$ AE $$ и $$ CD $$ соответственно делят углы при вершинах $$ A $$ и $$ C $$ пополам.
3. $$ AC $$ — общая сторона для обоих треугольников.
4. $$ \angle ACD = \angle CAE $$ (по свойству биссектрисы).
5. В треугольниках $$ \triangle ADS $$ и $$ \triangle CEA $$:
   - $$ AD = CE $$ (по построению).
   - Общая сторона $$ AC $$.
   - Углы между этими сторонами равны.
6. По признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол) треугольники равны.

**Вывод:** $$ \triangle АДС = \triangle СЕА $$.

---

**7) Внешний угол треугольника равен $$ 140^{\circ} $$, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.**

Пусть внешний угол равен $$ \angle C_{\text{внешний}} = 140^{\circ} $$. Тогда смежный внутренний угол $$ \angle C = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} $$.

Остальные два угла треугольника, которые не смежны с данным внешним углом, обозначим как $$ \alpha $$ и $$ \beta $$, где $$ \alpha : \beta = 3 : 4 $$.

Сумма углов треугольника:
$$
\alpha + \beta + 40^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha + \beta = 140^{\circ}
$$
Пусть $$ \alpha = 3x $$, $$ \beta = 4x $$:
$$
3x + 4x = 140^{\circ} \Rightarrow 7x = 140^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}
$$
Тогда:
$$
\alpha = 60^{\circ}, \quad \beta = 80^{\circ}
$$

**Ответ:** Внутренние углы треугольника равны $$ 60^{\circ} $$, $$ 80^{\circ} $$ и $$ 40^{\circ} $$.
**3) В равнобедренном треугольнике с периметром 40 см основание в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.** Боковая сторона $$ a = 16 $$ см, основание $$ \frac{a}{2} = 8 $$ см. **Ответ:** Стороны треугольника: 16 см, 16 см, 8 см. --- **4) Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен $$ 65^{\circ} $$. Найдите остальные углы треугольника.** Углы треугольника: $$ 65^{\circ} $$, $$ 65^{\circ} $$, $$ 50^{\circ} $$. **Ответ:** $$ 65^{\circ} $$, $$ 65^{\circ} $$, $$ 50^{\circ} $$. --- **5) Один из углов прямоугольного треугольника равен $$ 60^{\circ} $$, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.** Гипотенуза $$ 12 $$ см, меньший катет $$ 6 $$ см. **Ответ:** Гипотенуза $$ 12 $$ см, меньший катет $$ 6 $$ см. --- **6) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ и СД. Докажите, что $$ \triangle АДС = \triangle СЕА $$.** Треугольники $$ \triangle АДС $$ и $$ \triangle СЕА $$ равны по признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол). **Вывод:** $$ \triangle АДС = \triangle СЕА $$. --- **7) Внешний угол треугольника равен $$ 140^{\circ} $$, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.** Внутренние углы треугольника: $$ 60^{\circ} $$, $$ 80^{\circ} $$, $$ 40^{\circ} $$. **Ответ:** $$ 60^{\circ} $$, $$ 80^{\circ} $$, $$ 40^{\circ} $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions