1. Els vectors $$ \vec{v}=(1,2) $$ i $$ \vec{v}=(-2,1) $$ tenen l'origen, ambd6s, al punt $$ A(1,3) $$ i formen un paral-lelogram. Troba: o(a) els altres tres vèrtexs del paral-lelogram, : (b) l'àrea del paral-lelogram.

Question

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Para resolver el problema, analizaremos las dos partes solicitadas:

### Parte (a): Determinar los otros tres vértices del paralelogramo

Dado el punto de origen $$ A(1,3) $$ y los vectores $$ \vec{v} = (1,2) $$ y $$ \vec{w} = (-2,1) $$, los otros tres vértices del paralelogramo se obtienen sumando estos vectores al punto $$ A $$.

1. **Vértice $$ B $$ (A + $$ \vec{v} $$)**:
   $$
   B = A + \vec{v} = (1 + 1, 3 + 2) = (2, 5)
   $$

2. **Vértice $$ C $$ (A + $$ \vec{w} $$)**:
   $$
   C = A + \vec{w} = (1 - 2, 3 + 1) = (-1, 4)
   $$

3. **Vértice $$ D $$ (A + $$ \vec{v} + \vec{w} $$)**:
   $$
   D = A + \vec{v} + \vec{w} = (1 + 1 - 2, 3 + 2 + 1) = (0, 6)
   $$

**Por lo tanto, los cuatro vértices del paralelogramo son:**
- $$ A(1,3) $$
- $$ B(2,5) $$
- $$ C(-1,4) $$
- $$ D(0,6) $$

### Parte (b): Calcular el área del paralelogramo

El área $$ A $$ de un paralelogramo definido por dos vectores $$ \vec{v} $$ y $$ \vec{w} $$ se calcula utilizando el valor absoluto del determinante de la matriz formada por estos vectores:

$$
A = |v_x \cdot w_y - v_y \cdot w_x|
$$

Dado:
$$
\vec{v} = (1,2), \quad \vec{w} = (-2,1)
$$

Calculamos el determinante:
$$
\text{Determinante} = (1)(1) - (2)(-2) = 1 + 4 = 5
$$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es:
$$
A = |5| = 5 \, \text{unidades cuadradas}
$$

**Respuesta Final:**
a) Los otros tres vértices son $$ B(2,5) $$, $$ C(-1,4) $$ y $$ D(0,6) $$.

b) El área del paralelogramo es 5 unidades cuadradas.
Los otros tres vértices del paralelogramo son $$ B(2,5) $$, $$ C(-1,4) $$ y $$ D(0,6) $$. El área del paralelogramo es 5 unidades cuadradas.

Els vectors i tenen l’origen, ambd6s, al punt i
formen un paral-lelogram. Troba:
o(a) els altres tres vèrtexs del paral-lelogram,
: (b) l’àrea del paral-lelogram.

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Els vectors i tenen l’origen, ambd6s, al punt i formen un paral-lelogram. Troba: o(a) els altres tres vèrtexs del paral-lelogram, : (b) l’àrea del paral-lelogram.