ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

Ask by Fowler Bradley. in Mexico

Mar 23,2025

Question

ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

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Mar 23,2025

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Vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso.

### 1. Ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto $$ P(-2,-3) $$ y es perpendicular a la recta $$ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 $$.

**Paso 1:** Encontrar la pendiente de la recta dada.

La ecuación $$ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 $$ se puede reescribir en la forma $$ y = mx + b $$:

$$
y = -\frac{3}{2}x + 3
$$

La pendiente $$ m_1 $$ de esta recta es $$ -\frac{3}{2} $$.

**Paso 2:** Encontrar la pendiente de la recta perpendicular.

La pendiente de la recta perpendicular $$ m_2 $$ es el negativo del recíproco de $$ m_1 $$:

$$
m_2 = \frac{2}{3}
$$

**Paso 3:** Usar la fórmula de la recta en forma punto-pendiente.

La ecuación de la recta que pasa por $$ P(-2,-3) $$ es:

$$
y - y_1 = m(x - x_1)
$$

Sustituyendo $$ m_2 $$ y el punto $$ P $$:

$$
y + 3 = \frac{2}{3}(x + 2)
$$

**Paso 4:** Llevar a la forma general.

Multiplicamos y reorganizamos:

$$
3(y + 3) = 2(x + 2) \implies 3y + 9 = 2x + 4 \implies 2x - 3y - 5 = 0
$$

### 2. Ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto $$ P(2,3) $$ y es paralela a la recta $$ -2 x+5 y=10 $$.

**Paso 1:** Encontrar la pendiente de la recta dada.

Reescribimos la ecuación en la forma $$ y = mx + b $$:

$$
5y = 2x + 10 \implies y = \frac{2}{5}x + 2
$$

La pendiente $$ m $$ es $$ \frac{2}{5} $$.

**Paso 2:** Usar la fórmula de la recta en forma punto-pendiente.

La ecuación de la recta que pasa por $$ P(2,3) $$ es:

$$
y - 3 = \frac{2}{5}(x - 2)
$$

**Paso 3:** Llevar a la forma simétrica.

Multiplicamos y reorganizamos:

$$
5(y - 3) = 2(x - 2) \implies 5y - 15 = 2x - 4 \implies 2x - 5y + 11 = 0
$$

### 3. Ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto $$ P(1,4) $$ y $$ Q(-3,-2) $$. Graficarla y obtener su ángulo de inclinación.

**Paso 1:** Encontrar la pendiente.

La pendiente $$ m $$ se calcula como:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{-3 - 1} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
$$

**Paso 2:** Usar la fórmula de la recta en forma punto-pendiente.

La ecuación es:

$$
y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)
$$

**Paso 3:** Llevar a la forma ordinaria.

Multiplicamos y reorganizamos:

$$
2(y - 4) = 3(x - 1) \implies 2y - 8 = 3x - 3 \implies 3x - 2y + 5 = 0
$$

**Paso 4:** Graficar y calcular el ángulo de inclinación.

El ángulo de inclinación $$ \theta $$ se calcula como:

$$
\tan(\theta) = m = \frac{3}{2} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)
$$

### 4. Calcular la distancia entre las rectas paralelas $$ 3 x+9 y-5=0 $$ y $$ 3 x+9 y+2=0 $$.

La distancia $$ d $$ entre dos rectas paralelas de la forma $$ Ax + By + C_1 = 0 $$ y $$ Ax + By + C_2 = 0 $$ se calcula como:

$$
d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Aquí, $$ C_1 = -5 $$ y $$ C_2 = 2 $$:

$$
d = \frac{|2 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 9^2}} = \frac{|2 + 5|}{\sqrt{9 + 81}} = \frac{7}{\sqrt{90}} = \frac{7}{3\sqrt{10}}
$$

### 5. Determina el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $$ A(1,3) $$ y $$ B(-4,2) $$ y la recta que pasa por los puntos $$ C(-5,4) $$ y $$ D(5,-3) $$.

**Paso 1:** Encontrar las pendientes de ambas rectas.

Para la recta $$ AB $$:

$$
m_{AB} = \frac{2 - 3}{-4 - 1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}
$$

Para la recta $$ CD $$:

$$
m_{CD} = \frac{-3 - 4}{5 - (-5)} = \frac{-7}{10}
$$

**Paso 2:** Calcular el ángulo $$ \theta $$ entre las dos rectas.

Usamos la fórmula:

$$
\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
$$

Sustituyendo:

$$
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{1}{5} - \left(-\frac{7}{10}\right)}{1 + \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)} \right|
$$

Ahora, calculamos el valor de $$ \tan(\theta) $$ y luego $$ \theta $$.

### Resumen de resultados:

1. Ecuación de la
1. **Ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto $$ P(-2,-3) $$ y es perpendicular a la recta $$ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 $$:** $$ 2x - 3y - 5 = 0 $$ 2. **Ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto $$ P(2,3) $$ y es paralela a la recta $$ -2x + 5y = 10 $$:** $$ 2x - 5y + 11 = 0 $$ 3. **Ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por los puntos $$ P(1,4) $$ y $$ Q(-3,-2) $$:** $$ 3x - 2y + 5 = 0 $$ **Ángulo de inclinación:** $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) $$ 4. **Distancia entre las rectas paralelas $$ 3x + 9y - 5 = 0 $$ y $$ 3x + 9y + 2 = 0 $$:** $$ d = \frac{7}{3\sqrt{10}} $$ 5. **Ángulo que forman las rectas que pasan por los puntos $$ A(1,3) $$ y $$ B(-4,2) $$, y $$ C(-5,4) $$ y $$ D(5,-3) $$:** $$ \theta = \tan^{-1}\left(\left| \frac{\frac{1}{5} - \left(-\frac{7}{10}\right)}{1 + \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)} \right|\right) $$ **Grafica de la recta $$ 3x - 2y + 5 = 0 $$:** - Pasa por $$ P(1,4) $$ y $$ Q(-3,-2) $$ - Ángulo de inclinación $$ \theta $$ calculado anteriormente

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