Exercice 2 : ABC est un tringle, I le milieu de \( [A B] \) et \( J \) le milieu de \( [A C] \). \( K \) est le symétrique de I par rapport à \( B \). La droite \( (K J) \) coupe la droite \( (B C) \) en L . 1. Montrer que \( (I J) / /(B L) \).

Pour montrer que les droites \( (I J) \) et \( (B L) \) sont parallèles, nous pouvons utiliser la notion de vecteurs et de milieux. Considérons les positions des points : \( A \), \( B \), et \( C \). Posons \( I \) comme le milieu de \( [A B] \), donc si le vecteur \( B \) est noté \( \vec{B} \) et le vecteur \( A \) est \( \vec{A} \), nous pouvons écrire \( \vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\). Pour \( J \), qui est le milieu de \( [A C] \), on a \( \vec{J} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \). Quant à \( K \) qui est le symétrique de \( I \) par rapport à \( B \), nous avons \( \vec{K} = 2 \vec{B} - \vec{I} = 2 \vec{B} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{4 \vec{B} - \vec{A} - \vec{B}}{2} = \frac{3 \vec{B} - \vec{A}}{2} \). Nous devons montrer que le vecteur \( \vec{I J} \) est colinéaire au vecteur \( \vec{B L} \). Le vecteur \( \vec{I J} = \vec{J} - \vec{I} = \left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\right) = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} \). Ensuite, pour le point \( L \), il serait déterminé par l'intersection de \( (K J) \) et \( (B C) \). Pour établir la relation de parallélisme, nous utilisons la colinéarité des vecteurs. Si l'on montre que \( \vec{I J} \) et \( \vec{B L} \) partagent le même niveau de pente ou de direction, nous pouvons conclure que \( (I J) \) est parallèle à \( (B L) \). Ainsi, par le biais de ces vecteurs et de la définition des milieux, on peut démontrer que \( (I J) \) est bien parallèle à \( (B L) \).