My MB über mathebatile Hille News Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-4 \ -5 \ -7\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-3 \ -3 \ -5\end{array} ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}: $$ $$ -6 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=-12 $$. Angoeloget als HS-EGBW

Question

My MB über mathebatile Hille News Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-4 \ -5 \ -7\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-3 \ -3 \ -5\end{array}ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}: $$ $$ -6 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=-12 $$. Angoeloget als HS-EGBW

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Um den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g} $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E} $$ zu finden, gehen wir wie folgt vor:

**Gegeben:**
$$
\mathrm{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \ -5 \ -7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -5 \end{pmatrix}
$$
$$
\mathrm{E}: -6x_1 - 3x_2 + x_3 = -12
$$

**Schritte:**

1. **Parametrische Gleichungen der Geraden aufstellen:**
   $$
   \begin{cases}
   x_1 = -4 - 3t \
   x_2 = -5 - 3t \
   x_3 = -7 - 5t
   \end{cases}
   $$

2. **Diese in die Ebenengleichung einsetzen:**
   $$
   -6(-4 - 3t) - 3(-5 - 3t) + (-7 - 5t) = -12
   $$
   
3. **Ausmultiplizieren und vereinfachen:**
   $$
   24 + 18t + 15 + 9t - 7 - 5t = -12
   $$
   $$
   32 + 22t = -12
   $$
   
4. **Nach $$ t $$ auflösen:**
   $$
   22t = -44 \implies t = -2
   $$
   
5. **Den Parameter $$ t = -2 $$ in die Geradengleichung einsetzen:**
   $$
   \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \ -5 \ -7 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}
   $$

**Durchstoßpunkt:**
$$
\boxed{\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}}
$$
The point where the line $$ \mathrm{g} $$ intersects the plane $$ \mathrm{E} $$ is $$ (2, 1, 3) $$.

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