N4. Dewwise yеавнение: $$ \frac{5}{x^{2}-4 x+4}-\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x+2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
\frac{5}{x^{2} - 4x + 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}
$$

**Шаг 1: Найдём область определения**

Номинаторы дробей не могут равняться нулю:

1. $$ x^{2} - 4x + 4 \neq 0 $$  
$$(x - 2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$

2. $$ x^{2} - 4 \neq 0 $$  
$$(x - 2)(x + 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $$ и $$ x \neq -2 $$

3. $$ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $$

Таким образом, область определения: $$ x \neq 2 $$ и $$ x \neq -2 $$.

**Шаг 2: Приведём уравнение к общему знаменателю**

Общий знаменатель: $$ (x - 2)^2 (x + 2) $$

Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$$
5(x + 2) - 4(x - 2) = (x - 2)^2
$$

**Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем**

Раскрываем скобки:

$$
5x + 10 - 4x + 8 = x^2 - 4x + 4
$$

Собираем подобные члены:

$$
(x) + 18 = x^2 - 4x + 4
$$

**Шаг 4: Приведём всё к одному виду**

Переносим все члены в левую часть:

$$
0 = x^2 - 5x - 14
$$

**Шаг 5: Решаем квадратное уравнение**

Уравнение: $$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$

Находим дискриминант:

$$
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81
$$

Корни квадратного уравнения:

$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}
$$

Получаем два корня:

1. $$ x = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$
2. $$ x = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

**Шаг 6: Проверка корней на принадлежность области определения**

Корень $$ x = -2 $$ не принадлежит области определения, поэтому он отбрасывается.

**Итоговый ответ:**

$$
x = 7
$$
$$ x = 7 $$

N4. Dewwise yеавнение: \( \frac{5}{x^{2}-4 x+4}-\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x+2} \)