2. Determinar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función \( f(x)=5 x^{2}-4 x \) en el punto de abscisa \( x_{1}=2 \). Trazar la gráfica de la función y las gráficas de la recta tangente y normal en un mismo plano.

Para determinar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función \( f(x) = 5x^{2} - 4x \) en el punto donde \( x_{1} = 2 \), seguimos los siguientes pasos: ### 1. Calcular el punto de tangencia Primero, evaluamos la función en \( x = 2 \): \[ f(2) = 5(2)^2 - 4(2) = 5(4) - 8 = 20 - 8 = 12 \] Por lo tanto, el punto de tangencia es \( (2, 12) \). ### 2. Determinar la derivada de la función La derivada de \( f(x) \) nos da la pendiente de la tangente en cualquier punto \( x \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^2 - 4x) = 10x - 4 \] Evaluamos la derivada en \( x = 2 \): \[ f'(2) = 10(2) - 4 = 20 - 4 = 16 \] Entonces, la pendiente de la recta tangente es \( m_{\text{tangente}} = 16 \). ### 3. Ecuación de la recta tangente Utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: \[ y - y_1 = m (x - x_1) \] Donde \( (x_1, y_1) = (2, 12) \) y \( m = 16 \): \[ y - 12 = 16(x - 2) \] Simplificando: \[ y = 16x - 32 + 12 \\ y = 16x - 20 \] Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: \[ \boxed{y = 16x - 20} \] ### 4. Ecuación de la recta normal La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Por lo tanto, su pendiente \( m_{\text{normal}} \) es el negativo recíproco de la pendiente de la tangente: \[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} = -\frac{1}{16} \] Usando nuevamente la forma punto-pendiente: \[ y - 12 = -\frac{1}{16}(x - 2) \] Simplificando: \[ y = -\frac{1}{16}x + \frac{2}{16} + 12 \\ y = -\frac{1}{16}x + \frac{1}{8} + 12 \\ y = -\frac{1}{16}x + \frac{97}{8} \] Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es: \[ \boxed{y = -\frac{1}{16}x + \frac{97}{8}} \] ### 5. Gráfica de la función y las rectas A continuación se presenta la gráfica de la función \( f(x) = 5x^{2} - 4x \), la recta tangente \( y = 16x - 20 \) y la recta normal \( y = -\frac{1}{16}x + \frac{97}{8} \) en el mismo plano: ```python import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Definir la función def f(x): return 5*x**2 - 4*x # Definir las rectas def tangente(x): return 16*x - 20 def normal(x): return (-1/16)*x + 97/8 # Crear un rango de x alrededor de x=2 x = np.linspace(0, 4, 400) y = f(x) y_tangente = tangente(x) y_normal = normal(x) # Punto de tangencia x1 = 2 y1 = f(x1) plt.figure(figsize=(8,6)) plt.plot(x, y, label='$f(x) = 5x^2 - 4x$', color='blue') plt.plot(x, y_tangente, label='Recta Tangente $y = 16x - 20$', color='red', linestyle='--') plt.plot(x, y_normal, label='Recta Normal $y = -\\frac{1}{16}x + \\frac{97}{8}$', color='green', linestyle=':') plt.plot(x1, y1, 'ko') # Punto de tangencia plt.xlabel('$x$') plt.ylabel('$y$') plt.title('Gráfica de la función y sus rectas Tangente y Normal en $x=2$') plt.legend() plt.grid(True) plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.show() ``` **Descripción de la Gráfica:** - **Curva Azul:** Representa la función \( f(x) = 5x^{2} - 4x \). - **Línea Roja (Punteada):** Es la recta tangente en el punto \( (2, 12) \) con ecuación \( y = 16x - 20 \). - **Línea Verde (Punteada y Discontinua):** Es la recta normal en el mismo punto con ecuación \( y = -\frac{1}{16}x + \frac{97}{8} \). - **Punto Negro:** Indica el punto de tangencia \( (2, 12) \). Esta gráfica ilustra claramente cómo la recta tangente toca la curva en un solo punto y cómo la recta normal es perpendicular a la tangente en ese punto.