EXERCICI 1] Déterminer le degré et les coefficients des polynômes \( \mathrm{P}, \mathrm{Q} \) et R : b). \[ \begin{array}{l} P(x)=\left(x^{2}+2\right)\left(3-x^{4}\right) \\ Q(x)=(3 x-4)(x+3)-(x+2)^{2} \\ R(x)=1-x+5 x^{4}-x^{2}+10 x^{3} \end{array} \]
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Pour déterminer le degré et les coefficients des polynômes \( P, Q \) et \( R \), examinons-les étape par étape. Pour \( P(x) = (x^{2} + 2)(3 - x^{4}) \) : Le degré de \( P \) est déterminé par le produit des termes de plus haut degré. Ici, \( x^{2} \) a un degré de 2 et \( -x^{4} \) a un degré de 4. Donc, le degré est \( 2 + 4 = 6 \). Les coefficients principaux sont 1 pour \( x^{2} \) et -1 pour \( -x^{4} \), donc le coefficient dominant est \( -3 \) (produit entre 1 de \( P \) et 3 de \( Q \)). Pour \( Q(x) = (3x - 4)(x + 3) - (x + 2)^{2} \) : Calculons d'abord le premier produit : \( 3x^2 + 9x - 4x - 12 = 3x^2 + 5x - 12 \). Ensuite, calculons \( (x + 2)^{2} = x^2 + 4x + 4 \). En procédant par soustraction, nous avons \( Q(x) = (3x^2 + 5x - 12) - (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + x - 16 \). Ainsi, le degré est 2 et le coefficient dominant est 2. Pour \( R(x) = 1 - x + 5x^{4} - x^{2} + 10x^{3} \) : Organisons les termes par ordre décroissant : \( 5x^{4} + 10x^{3} - x^{2} - x + 1 \). Le degré est 4, et le coefficient dominant est 5 (celui de \( x^{4} \)). En résumé : - \( P(x) \): degré 6, coefficient dominant -3. - \( Q(x) \): degré 2, coefficient dominant 2. - \( R(x) \): degré 4, coefficient dominant 5.