27. Треугольник задан вершинами: $$ \mathrm{A}(-7 ; 3), 5(2 ;-1) $$ и С(-1;-5). Найдите: 1) уравнение прямой AM , параллельной стороне BC ; 2) уравнение медианы AD ; 3) уравнение высоты $$ \mathrm{BF} ; $$ 4) угол B ; 5) уравнение биссектрисы СN.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте последовательно решим каждую задачу.

**Даны вершины треугольника:**
- $$ A(-7; 3) $$
- $$ B(2; -1) $$
- $$ C(-1; -5) $$

### 1) Уравнение прямой AM, параллельной стороне BC

**Шаг 1:** Найдём наклон стороны $$ BC $$.

$$
m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-5 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}
$$

**Шаг 2:** Поскольку $$ AM $$ параллельна $$ BC $$, наклон $$ AM $$ также равен $$ \frac{4}{3} $$.

**Шаг 3:** Используем уравнение прямой через точку $$ A(-7; 3) $$ с наклоном $$ \frac{4}{3} $$:

$$
y - 3 = \frac{4}{3}(x + 7)
$$

$$
y = \frac{4}{3}x + \frac{28}{3} + 3 = \frac{4}{3}x + \frac{37}{3}
$$

**Ответ:**
$$
y = \frac{4}{3}x + \frac{37}{3}
$$

### 2) Уравнение медианы AD

**Шаг 1:** Найдём координаты середины стороны $$ BC $$, обозначим её $$ M $$.

$$
x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}
$$
$$
y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + (-5)}{2} = -3
$$
$$
M\left(\frac{1}{2}; -3\right)
$$

**Шаг 2:** Найдём наклон медианы $$ AD $$.

$$
m_{AD} = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{-3 - 3}{\frac{1}{2} - (-7)} = \frac{-6}{7.5} = -\frac{4}{5}
$$

**Шаг 3:** Составим уравнение прямой через точку $$ A(-7; 3) $$ с наклоном $$ -\frac{4}{5} $$:

$$
y - 3 = -\frac{4}{5}(x + 7)
$$

$$
y = -\frac{4}{5}x - \frac{28}{5} + 3 = -\frac{4}{5}x - \frac{13}{5}
$$

**Ответ:**
$$
y = -\frac{4}{5}x - \frac{13}{5}
$$

### 3) Уравнение высоты BF

**Шаг 1:** Найдём наклон стороны $$ AC $$.

$$
m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-5 - 3}{-1 - (-7)} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}
$$

**Шаг 2:** Наклон высоты $$ BF $$, перпендикулярной $$ AC $$, равен отрицательному обратному:

$$
m_{BF} = \frac{3}{4}
$$

**Шаг 3:** Используем уравнение прямой через точку $$ B(2; -1) $$ с наклоном $$ \frac{3}{4} $$:

$$
y + 1 = \frac{3}{4}(x - 2)
$$

$$
y = \frac{3}{4}x - \frac{6}{4} - 1 = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2}
$$

**Ответ:**
$$
y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2}
$$

### 4) Угол при вершине B

**Шаг 1:** Найдём векторы $$ \vec{BA} $$ и $$ \vec{BC} $$:

$$
\vec{BA} = A - B = (-7 - 2; 3 - (-1)) = (-9; 4)
$$
$$
\vec{BC} = C - B = (-1 - 2; -5 - (-1)) = (-3; -4)
$$

**Шаг 2:** Используем формулу косинуса угла между векторами:

$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}
$$

$$
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-9)(-3) + (4)(-4) = 27 - 16 = 11
$$
$$
|\vec{BA}| = \sqrt{(-9)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}
$$
$$
|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
$$
\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{97} \cdot 5} \approx \frac{11}{49.244} \approx 0.223
$$
$$
\theta \approx \arccos(0.223) \approx 77^\circ
$$

**Ответ:**
$$
\text{Угол } \angle B \approx 77^\circ
$$

### 5) Уравнение биссектрисы CN

**Шаг 1:** По теореме биссектрисы, точка $$ N $$ на стороне $$ AB $$ делит её в отношении длин сторон $$ AC $$ и $$ CB $$.

$$
AC = \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10
$$
$$
CB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
$$
$$
\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{CB} = \frac{10}{5} = 2
$$

**Шаг 2:** Найдём координаты точки $$ N $$, делящей отрезок $$ AB $$ в отношении $$ 2:1 $$.

$$
x_N = \frac{2x_B + 1x_A}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 2 + (-7)}{3} = \frac{4 - 7}{3} = -1
$$
$$
y_N = \frac{2y_B + 1y_A}{2 + 1} = \frac{2 \cdot (-1) + 3}{3} = \frac{-2 + 3}{3} = \frac{1}{3}
$$
$$
N(-1; \frac{1}{3})
$$

**Шаг 3:** Уравнение биссектрисы $$ CN $$ проходит через точки $$ C(-1; -5) $$ и $$ N(-1; \frac{1}{3}) $$.

Поскольку $$ x_C = x_N = -1 $$, прямая вертикальная.

**Ответ:**
$$
x = -1
$$
1) Уравнение прямой AM: $$ y = \frac{4}{3}x + \frac{37}{3} $$ 2) Уравнение медианы AD: $$ y = -\frac{4}{5}x - \frac{13}{5} $$ 3) Уравнение высоты BF: $$ y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2} $$ 4) Угол B: $$ \approx 77^\circ $$ 5) Уравнение биссектрисы CN: $$ x = -1 $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions