Exercicio 3-O cixo da figura, ao girar, provoca a rotoçĩo do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de 10 N com uma velocidade constante de . O fluido existente entre o eixo e o tambor tem viscosidade absoluta igual apresenta um diagrama linear de velocidades. Pede - se:
a-) a rotacão do cixo ern rpm:
b-) o torque resistente provocado pelo fluido contra a rotaçåo do eixo.
Dados: .

Ask by Peters Morgan. in Brazil

Mar 24,2025

Question

Exercicio 3-O cixo da figura, ao girar, provoca a rotoçĩo do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de 10 N com uma velocidade constante de . O fluido existente entre o eixo e o tambor tem viscosidade absoluta igual apresenta um diagrama linear de velocidades. Pede - se:
a-) a rotacão do cixo ern rpm:
b-) o torque resistente provocado pelo fluido contra a rotaçåo do eixo.
Dados: .

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Mar 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Calcule a velocidade angular do tambor. Como a corda é enrolada na periferia do tambor, sua velocidade linear $$ v $$ relaciona‐se com a velocidade angular $$ \omega $$ segundo

$$
v=\omega R_{\text{tambor}}.
$$

Como o peso é levantado com $$ v=0.5\,\mathrm{m/s} $$ e, assumindo que o diâmetro do tambor é de $$20\,\mathrm{cm}$$ (ou seja, $$ R_{\text{tambor}}=0.2\,\mathrm{m} $$), temos

$$
\omega=\frac{v}{R_{\text{tambor}}}=\frac{0.5}{0.2}=2.5\,\mathrm{rad/s}.
$$

A rotação em revoluções por minuto (rpm) é dada por

$$
n=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2.5}{2\pi}\approx\frac{2.5}{6.283}\approx0.398\; \text{rps}.
$$

Convertendo para rpm:

$$
n_{rpm}=0.398\times60\approx23.9\,\mathrm{rpm}.
$$

2. Calcule o torque resistente devido à viscosidade do fluido. O problema descreve um filme de fluido com velocidade variando linearmente no intervalo entre um cilindro interno (eixo) de raio $$ R_1=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m} $$ e um cilindro externo de raio $$ R_2=10,1\,\mathrm{cm}=0.101\,\mathrm{m} $$. A espessura do filme é

$$
h=R_2-R_1=0.101-0.10=0.001\,\mathrm{m}.
$$

No escoamento entre cilindros coaxiais, com o cilindro interno girando a $$ \omega $$ e o externo parado, a tensão de cisalhamento na parede do eixo é

$$
\tau=\mu\,\frac{V}{h}=\mu\,\frac{\omega R_1}{h},
$$

em que $$ \mu=0.1\,\mathrm{N\cdot s/m^2} $$.

O torque diferencial devido a um elemento de área na superfície lateral do eixo é dado por $$ dM=\tau \,r\, dA $$; integrando sobre toda a área lateral do cilindro do eixo – que possui comprimento $$ L $$ (dado como $$ L=20\,\mathrm{cm}=0.20\,\mathrm{m} $$) – temos

$$
M=\tau\,(2\pi R_1L)\,R_1.
$$

Substituindo a expressão de $$ \tau $$:

$$
M=2\pi \mu \,\omega\,\frac{R_1}{h}\,(R_1L)R_1
=\; 2\pi\,\mu\,\omega\,\frac{R_1^3L}{h}.
$$

Agora, substituindo os valores:

- $$ \mu=0.1\,\mathrm{N\cdot s/m^2} $$
- $$ \omega=2.5\,\mathrm{rad/s} $$
- $$ R_1=0.10\,\mathrm{m} $$ (portanto, $$ R_1^3=0.10^3=0.001\,\mathrm{m^3} $$)
- $$ L=0.20\,\mathrm{m} $$
- $$ h=0.001\,\mathrm{m} $$

Temos

$$
M=2\pi\,(0.1)(2.5)\frac{0.001\times0.20}{0.001}.
$$

Observando que a razão $$ \frac{0.001\times0.20}{0.001} $$ simplifica para $$ 0.20 $$, obtemos

$$
M=2\pi\,(0.1)(2.5)(0.20).
$$

Calculando passo a passo:

- $$ 2\pi\approx6.283 $$
- $$ 6.283\times0.1=0.6283 $$
- $$ 0.6283\times2.5\approx1.5708 $$
- $$ 1.5708\times0.20\approx0.3142\,\mathrm{N\cdot m} $$.

Portanto, o torque resistente devido ao fluido é aproximadamente

$$
M\approx0.31\,\mathrm{N\cdot m}.
$$

Resumindo:

- a) O eixo gira aproximadamente a $$ 23.9\,\mathrm{rpm} $$.
- b) O torque resistente pelo fluido é de aproximadamente $$ 0.31\,\mathrm{N\cdot m} $$.
a) O eixo gira a aproximadamente 23,9 rpm. b) O torque resistente do fluido é de aproximadamente 0,31 N·m.

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