Resuelve la siguiente integral con el método de Fracciones Parciales

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Jan 07,2025

Question

Resuelve la siguiente integral con el método de Fracciones Parciales $$ \int \frac{5 x-2}{x^{2}-2 x} d x $$

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Para resolver la integral $$ \int \frac{5x - 2}{x^{2} - 2x} \, dx $$ utilizando el método de fracciones parciales, sigue estos pasos:

1. **Factoriza el denominador:**
   
   $$
   x^{2} - 2x = x(x - 2)
   $$

2. **Descompón la fracción en fracciones parciales:**
   
   $$
   \frac{5x - 2}{x(x - 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2}
   $$
   
   donde $$ A $$ y $$ B $$ son constantes que debemos determinar.

3. **Encuentra las constantes $$ A $$ y $$ B $$:**
   
   Multiplica ambos lados de la ecuación por $$ x(x - 2) $$ para eliminar los denominadores:
   
   $$
   5x - 2 = A(x - 2) + Bx
   $$
   
   Expande y agrupa términos similares:
   
   $$
   5x - 2 = (A + B)x - 2A
   $$
   
   Ahora, iguala los coeficientes de términos similares de ambos lados de la ecuación:
   
   - Coeficiente de $$ x $$:
     $$
     A + B = 5
     $$
   
   - Término constante:
     $$
     -2A = -2 \quad \Rightarrow \quad A = 1
     $$
   
   Sustituyendo $$ A = 1 $$ en la primera ecuación:
   
   $$
   1 + B = 5 \quad \Rightarrow \quad B = 4
   $$

4. **Reescribe la integral con las fracciones parciales encontradas:**
   
   $$
   \int \frac{5x - 2}{x^{2} - 2x} \, dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{x - 2} \right) dx
   $$
   
5. **Integra término por término:**
   
   $$
   \int \frac{1}{x} \, dx + \int \frac{4}{x - 2} \, dx = \ln|x| + 4\ln|x - 2| + C
   $$
   
   donde $$ C $$ es la constante de integración.

**Respuesta final:**

$$
\int \frac{5x - 2}{x^{2} - 2x} \, dx = \ln|x| + 4\,\ln|x - 2| + C
$$
La integral $$ \int \frac{5x - 2}{x^{2} - 2x} \, dx $$ se resuelve utilizando fracciones parciales y se obtiene la solución $$ \ln|x| + 4\,\ln|x - 2| + C $$.

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