5. (Valor $$ 20 \%) $$. Determine si las rectas $$ L_{1} $$ y $$ L_{2} $$ se intersecan. Si es así, encuentre el punto de intersección: $$ \left\{\begin{array}{c}L_{1}: x=3-t, y=2+t, z=8+2 t \ L_{2}: x=2+2 s, y=-2+3 s, z=-2+8 s\end{array} ight. $$

Question

5. (Valor $$ 20 \%) $$. Determine si las rectas $$ L_{1} $$ y $$ L_{2} $$ se intersecan. Si es así, encuentre el punto de intersección: $$ \left\{\begin{array}{c}L_{1}: x=3-t, y=2+t, z=8+2 t \ L_{2}: x=2+2 s, y=-2+3 s, z=-2+8 s\end{array}ight. $$

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Resolveremos el sistema de ecuaciones paramétricas de las rectas $$ L_{1} $$ y $$ L_{2} $$:

$$
\begin{cases}
L_{1}: x=3-t,\quad y=2+t,\quad z=8+2t \
L_{2}: x=2+2s,\quad y=-2+3s,\quad z=-2+8s
\end{cases}
$$

Para que las rectas se intersecten, debe existir un par $$(t,s)$$ que satisfaga:

1) $$\,3-t=2+2s$$

2) $$\,2+t=-2+3s$$

3) $$\,8+2t=-2+8s$$

**Paso 1.** Resolver la ecuación 1:

$$
3-t=2+2s \implies -t=2+2s-3 \implies -t=-1+2s \implies t=1-2s.
$$

**Paso 2.** Sustituir $$ t $$ en la ecuación 2:

$$
2+(1-2s)=-2+3s \implies 3-2s=-2+3s.
$$

Resolviendo:

$$
3+2 = 3s+2s \implies 5=5s \implies s=1.
$$

**Paso 3.** Hallar $$ t $$ usando $$ s=1 $$:

$$
t=1-2(1)=1-2=-1.
$$

**Paso 4.** Verificar con la ecuación 3:

$$
8+2t=8+2(-1)=8-2=6,
$$
$$
-2+8s=-2+8(1)=6.
$$

Como $$6=6$$, se cumple la ecuación 3.

**Paso 5.** Encontrar el punto de intersección, usando $$ t=-1 $$ en $$ L_{1} $$:

$$
x=3-(-1)=4, \quad y=2+(-1)=1, \quad z=8+2(-1)=6.
$$

El punto de intersección es $$(4,1,6)$$.

Por lo tanto, las rectas $$ L_{1} $$ y $$ L_{2} $$ se intersecan en el punto $$(4, 1, 6)$$.
Las rectas $$ L_{1} $$ y $$ L_{2} $$ se intersecan en el punto $$(4, 1, 6)$$.

(Valor . Determine si las rectas y se intersecan. Si es así, encuentre el punto de
intersección:

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(Valor . Determine si las rectas y se intersecan. Si es así, encuentre el punto de intersección: