(m) Die som van die eerste 5 terme van 'n konvergerende meetkundige reeks is 62 en die som tot oneindig van die reeks is 64 . Bepaal die som van die ecrste 10 terme. (in)* Die verhouding tussen die som van die vyfde, sesde en sewende terme van 'n meetkundige reeks en die som van die eerste drie terme van dieselfde reeks is $$ 81: 16 $$. Bepaal die som van die eerste tien terme, indien die eerste term 1024 is. (0)*) Die som van die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry is 15 en dié drie terme se produk is 80 . Bepaal die cerste drie terme.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### Deel (m)

**Vraag:**
Die som van die eerste 5 terme van 'n konvergerende meetkundige reeks is 62 en die som tot oneindig van die reeks is 64. Bepaal die som van die eerste 10 terme.

**Oplossing:**
Laat $$ a $$ die eerste term wees en $$ r $$ die gemeenskaplike verhouding.

1. **Som tot oneindig:**
   $$
   S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 64 \quad \Rightarrow \quad a = 64(1 - r)
   $$

2. **Som van die eerste 5 terme:**
   $$
   S_5 = a \frac{1 - r^5}{1 - r} = 62
   $$
   Vervang $$ a $$ met $$ 64(1 - r) $$:
   $$
   64(1 - r) \frac{1 - r^5}{1 - r} = 64(1 - r^5) = 62 \quad \Rightarrow \quad 1 - r^5 = \frac{62}{64} = \frac{31}{32}
   $$
   So $$ r^5 = \frac{1}{32} $$ wat beteken $$ r = \frac{1}{2} $$.

3. **Bepaal $$ a $$:**
   $$
   a = 64(1 - \frac{1}{2}) = 32
   $$

4. **Som van die eerste 10 terme:**
   $$
   S_{10} = a \frac{1 - r^{10}}{1 - r} = 32 \frac{1 - (\frac{1}{2})^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = \frac{1023}{16} = 63.9375
   $$

**Antwoord:** Die som van die eerste 10 terme is $$ \frac{1023}{16} $$ of 63.9375.

---

### Deel (in)*

**Vraag:**
Die verhouding tussen die som van die vyfde, sesde en sewende terme van 'n meetkundige reeks en die som van die eerste drie terme van dieselfde reeks is $$ 81: 16 $$. Bepaal die som van die eerste tien terme, indien die eerste term 1024 is.

**Oplossing:**
Laat $$ a = 1024 $$ en $$ r $$ die gemeenskaplike verhouding wees.

1. **Term formule:**
   $$
   T_n = ar^{n-1}
   $$

2. **Som van die vyfde, sesde en sewende terme:**
   $$
   T_5 + T_6 + T_7 = ar^4 + ar^5 + ar^6 = ar^4(1 + r + r^2)
   $$

3. **Som van die eerste drie terme:**
   $$
   S_3 = a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2)
   $$

4. **Verhouding:**
   $$
   \frac{ar^4(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = r^4 = \frac{81}{16} \quad \Rightarrow \quad r = \left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}
   $$

5. **Som van die eerste 10 terme:**
   $$
   S_{10} = a \frac{1 - r^{10}}{1 - r} = 1024 \cdot \frac{1 - (\frac{3}{2})^{10}}{1 - \frac{3}{2}} = 1024 \cdot \frac{1 - \frac{59049}{1024}}{-\frac{1}{2}} = 116050
   $$

**Antwoord:** Die som van die eerste 10 terme is **116 050**.

---

### Deel (0)*)

**Vraag:**
Die som van die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry is 15 en dié drie terme se produk is 80. Bepaal die eerste drie terme.

**Oplossing:**
Laat die drie terme wees $$ a - d $$, $$ a $$, en $$ a + d $$.

1. **Som:**
   $$
   (a - d) + a + (a + d) = 3a = 15 \quad \Rightarrow \quad a = 5
   $$

2. **Produk:**
   $$
   (a - d) \cdot a \cdot (a + d) = a(a^2 - d^2) = 5(25 - d^2) = 80
   $$
   $$
   25 - d^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3 \text{ of } d = -3
   $$

3. **Beginstelle:**
   $$
   5 - 3 = 2, \quad 5, \quad 5 + 3 = 8
   $$

**Antwoord:** Die eerste drie terme is **2, 5, 8**.
**Deel (m):** Die som van die eerste 10 terme is 63.9375. **Deel (in)*:** Die som van die eerste 10 terme is 116 050. **Deel (0)*:** Die eerste drie terme is 2, 5, en 8.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions