2) Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento a) $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$

Question

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Para determinar si la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ es monótona, necesitamos analizar si los términos de la sucesión son crecientes o decrecientes.

Para hacer esto, calcularemos la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión y veremos si esta diferencia es positiva o negativa. Si la diferencia es positiva, la sucesión es creciente; si es negativa, la sucesión es decreciente.

La diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ se calcula de la siguiente manera:

Sea $$ a_n = \frac{1-2n}{n^{2}} $$ y $$ a_{n+1} = \frac{1-2(n+1)}{(n+1)^{2}} $$.

La diferencia entre $$ a_n $$ y $$ a_{n+1} $$ es:

$$ a_n - a_{n+1} = \frac{1-2n}{n^{2}} - \frac{1-2(n+1)}{(n+1)^{2}} $$

Vamos a calcular esta diferencia y determinar si es positiva o negativa para determinar si la sucesión es creciente o decreciente.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\frac{\left(1-2n\right)}{n^{2}}-\frac{\left(1-2\left(n+1\right)\right)}{\left(n+1\right)^{2}}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{1-2n}{n^{2}}-\frac{1-2\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)^{2}}$$
- step2: Subtract the terms:
  $$\frac{1-2n}{n^{2}}-\frac{-1-2n}{\left(n+1\right)^{2}}$$
- step3: Use the rules for multiplication and division:
  $$\frac{1-2n}{n^{2}}+\frac{1+2n}{\left(n+1\right)^{2}}$$
- step4: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{\left(1-2n\right)\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\left(1+2n\right)n^{2}}{\left(n+1\right)^{2}n^{2}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$\frac{\left(1-2n\right)\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\left(1+2n\right)n^{2}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}$$
- step6: Transform the expression:
  $$\frac{\left(1-2n\right)\left(n+1\right)^{2}+\left(1+2n\right)n^{2}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}$$
- step7: Expand the expression:
  $$\frac{-3n^{2}+1-2n^{3}+\left(1+2n\right)n^{2}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}$$
- step8: Multiply the terms:
  $$\frac{-3n^{2}+1-2n^{3}+n^{2}+2n^{3}}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}$$
- step9: Calculate:
  $$\frac{-2n^{2}+1}{n^{2}\left(n+1\right)^{2}}$$
- step10: Simplify:
  $$\frac{-2n^{2}+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}$$
- step11: Expand the expression:
  $$\frac{-2n^{2}+1}{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}$$
La diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ es $$ \frac{-2n^{2}+1}{n^{4}+2n^{3}+n^{2}} $$.

Para determinar si la sucesión es creciente o decreciente, necesitamos analizar si esta diferencia es positiva o negativa. Si la diferencia es positiva, la sucesión es creciente; si es negativa, la sucesión es decreciente.

Para determinar si la diferencia es positiva o negativa, podemos observar que el numerador es $$ -2n^{2}+1 $$ y el denominador es $$ n^{4}+2n^{3}+n^{2} $$.

Como el numerador es negativo y el denominador es positivo para valores de $$ n $$ grandes, la diferencia es negativa. Por lo tanto, la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ es decreciente.

En resumen, la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ es decreciente.
Para determinar si la sucesión $$ \left\{\frac{1-2n}{n^{2}}\right\} $$ es monótona, calculamos la diferencia entre términos consecutivos. Si la diferencia es negativa, la sucesión es decreciente. En este caso, la diferencia es negativa, por lo que la sucesión es decreciente.

Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento
a)

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