4) Soit ( $$ \Delta $$ ) une droite définie par sa représentation paramétrique : $$ \left\{\begin{array}{l}x=3-t \ y=2+t\end{array} ;(t \in \mathbb{R}) ight. $$ Montrer que la droite $$ (\Delta) $$ coupe la droite (D) au point $$ J $$ à déterminer.

Question

4) Soit ( $$ \Delta $$ ) une droite définie par sa représentation paramétrique : $$ \left\{\begin{array}{l}x=3-t \ y=2+t\end{array} ;(t \in \mathbb{R})ight. $$ Montrer que la droite $$ (\Delta) $$ coupe la droite (D) au point $$ J $$ à déterminer.

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Pour montrer que la droite $$ (\Delta) $$ coupe la droite $$ (D) $$, nous devons d'abord déterminer l'équation de la droite $$ (D) $$. Supposons que la droite $$ (D) $$ soit donnée par une équation de la forme $$ ax + by + c = 0 $$.

Nous allons d'abord exprimer les coordonnées du point $$ J $$ en fonction du paramètre $$ t $$ de la droite $$ (\Delta) $$. D'après la représentation paramétrique de $$ (\Delta) $$, nous avons :

$$
x = 3 - t
$$
$$
y = 2 + t
$$

Nous pouvons exprimer $$ t $$ en fonction de $$ x $$ et $$ y $$ :

1. De l'équation $$ x = 3 - t $$, nous avons $$ t = 3 - x $$.
2. En substituant $$ t $$ dans l'équation $$ y = 2 + t $$, nous obtenons :

$$
y = 2 + (3 - x) = 5 - x
$$

Ainsi, l'équation de la droite $$ (\Delta) $$ peut être réécrite sous la forme :

$$
y = 5 - x
$$

Maintenant, nous devons déterminer l'équation de la droite $$ (D) $$. Supposons que $$ (D) $$ soit donnée par l'équation $$ y = mx + b $$ pour un certain $$ m $$ et $$ b $$. Pour que les deux droites se coupent, il faut résoudre le système d'équations :

$$
\begin{cases}
y = 5 - x \
y = mx + b
\end{cases}
$$

En égalant les deux expressions pour $$ y $$, nous avons :

$$
5 - x = mx + b
$$

En réarrangeant cette équation, nous obtenons :

$$
5 - b = (m + 1)x
$$

Pour que cette équation ait une solution, il faut que $$ m + 1 \neq 0 $$ (sinon les droites seraient parallèles). Si $$ m + 1 \neq 0 $$, nous pouvons exprimer $$ x $$ :

$$
x = \frac{5 - b}{m + 1}
$$

En substituant cette valeur de $$ x $$ dans l'une des équations pour $$ y $$, par exemple $$ y = 5 - x $$, nous obtenons :

$$
y = 5 - \frac{5 - b}{m + 1} = \frac{5(m + 1) - (5 - b)}{m + 1} = \frac{5m + 5 - 5 + b}{m + 1} = \frac{5m + b}{m + 1}
$$

Ainsi, le point d'intersection $$ J $$ des droites $$ (\Delta) $$ et $$ (D) $$ est donné par :

$$
J\left(\frac{5 - b}{m + 1}, \frac{5m + b}{m + 1}\right)
$$

En conclusion, la droite $$ (\Delta) $$ coupe la droite $$ (D) $$ au point $$ J $$ dont les coordonnées dépendent des paramètres de la droite $$ (D) $$. Si vous avez des valeurs spécifiques pour $$ m $$ et $$ b $$, vous pouvez substituer ces valeurs pour obtenir les coordonnées exactes du point $$ J $$.
Pour montrer que la droite $$ (\Delta) $$ coupe la droite $$ (D) $$, on exprime les coordonnées du point $$ J $$ en fonction du paramètre $$ t $$ de $$ (\Delta) $$. En substituant dans l'équation de $$ (\Delta) $$, on obtient l'équation $$ y = 5 - x $$. En résolvant le système des équations $$ y = 5 - x $$ et $$ y = mx + b $$, on trouve les coordonnées du point $$ J $$ comme $$ J\left(\frac{5 - b}{m + 1}, \frac{5m + b}{m + 1}\right) $$.

4) Soit ( \( \Delta \) ) une droite définie par sa représentation paramétrique : \( \left\{\begin{array}{l}x=3-t \\ y=2+t\end{array} ;(t \in \mathbb{R})\right. \) Montrer que la droite \( (\Delta) \) coupe la droite (D) au point \( J \) à déterminer.

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