2) Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento a) $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$ b) $$ \{\cos n \pi\} $$

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Para determinar si las sucesiones son monótonas, debemos analizar el comportamiento de los términos de cada sucesión. Una sucesión es monótona creciente si cada término es mayor o igual que el anterior, y es monótona decreciente si cada término es menor o igual que el anterior.

### a) $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$

Primero, escribimos el término general de la sucesión:

$$
a_n = \frac{1 - 2n}{n^2}
$$

Para analizar la monotonía, calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos:

$$
a_{n+1} = \frac{1 - 2(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{1 - 2n - 2}{(n+1)^2} = \frac{-2n - 1}{(n+1)^2}
$$

Ahora, calculamos $$ a_{n+1} - a_n $$:

$$
a_{n+1} - a_n = \frac{-2n - 1}{(n+1)^2} - \frac{1 - 2n}{n^2}
$$

Para simplificar esta expresión, encontramos un denominador común, que es $$ n^2(n+1)^2 $$:

$$
a_{n+1} - a_n = \frac{(-2n - 1)n^2 - (1 - 2n)(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}
$$

Simplificando el numerador:

1. Expansión de $$ (-2n - 1)n^2 $$:
   $$
   -2n^3 - n^2
   $$

2. Expansión de $$ (1 - 2n)(n+1)^2 $$:
   $$
   (1 - 2n)(n^2 + 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - 2n^3 - 4n^2 - 2n = -2n^3 - 3n^2 + 1
   $$

Sumando ambos resultados:

$$
-2n^3 - n^2 - (-2n^3 - 3n^2 + 1) = 2n^2 - 1
$$

Por lo tanto, tenemos:

$$
a_{n+1} - a_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2(n+1)^2}
$$

Para $$ n \geq 1 $$, $$ 2n^2 - 1 $$ es positivo, lo que implica que $$ a_{n+1} > a_n $$. Por lo tanto, la sucesión es monótona creciente.

### b) $$ \{\cos n \pi\} $$

La sucesión $$ \cos n \pi $$ toma valores alternados dependiendo de si $$ n $$ es par o impar:

- Si $$ n $$ es par, $$ \cos n \pi = 1 $$.
- Si $$ n $$ es impar, $$ \cos n \pi = -1 $$.

Por lo tanto, la sucesión es:

$$
\{1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots\}
$$

Dado que los términos alternan entre 1 y -1, no hay un orden creciente o decreciente en la sucesión. Por lo tanto, la sucesión no es monótona.

### Resumen

- La sucesión $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$ es monótona creciente.
- La sucesión $$ \{\cos n \pi\} $$ no es monótona.
La sucesión $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$ es monótona creciente. La sucesión $$ \{\cos n \pi\} $$ no es monótona.

Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento
a)
b)

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