\( 519 \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 < ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } } \\ { 2 x - 7 } \end{array} \right. \)

Per risolvere l'inequazione: \[ 2x - 7 < (3x + 1)^2 \] seguiamo i seguenti passaggi: ### Passo 1: Espandere il lato destro Espandiamo il quadrato: \[ (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \] Quindi, l'inequazione diventa: \[ 2x - 7 < 9x^2 + 6x + 1 \] ### Passo 2: Portare tutti i termini a un lato Spostiamo tutti i termini a sinistra dell'inequazione: \[ 2x - 7 - 9x^2 - 6x - 1 < 0 \] Semplificando: \[ -9x^2 - 4x - 8 < 0 \] Possiamo moltiplicare entrambi i lati per \(-1\) (ricordando di invertire il segno dell'inequazione): \[ 9x^2 + 4x + 8 > 0 \] ### Passo 3: Analizzare il trinomio di secondo grado Consideriamo il trinomio: \[ 9x^2 + 4x + 8 \] Calcoliamo il discriminante \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 16 - 288 = -272 \] Poiché il discriminante è negativo (\( \Delta < 0 \)), il trinomio non ha soluzioni reali e il suo segno è determinato dal coefficiente di \( x^2 \), che è positivo (\( 9 > 0 \)). Quindi: \[ 9x^2 + 4x + 8 > 0 \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \] ### Conclusione L'inequazione originale: \[ 2x - 7 < (3x + 1)^2 \] è sempre vera per ogni numero reale \( x \). **Insieme soluzione:** \[ \boxed{\,\mathbb{R}\,} \]