Für die Herstellungskosten eines Gutes gilt: Die variablen Kosten betragen gleich-
bleibend 80 Geldeinheiten pro Stück und die Fixkosten sind mit 2000 Geldeinheiten
pro Woche veranschlagt. Die Erlösfunktion lautet: . Die folgenden
Aufgaben sind grafisch zu lösen.
a) Ermittle die Gewinngrenzen.
b) Bestimme die Stückzahl für den maximalen Gewinn sowie dessen Höhe.
c) Der Gewinn beträgt 1000 Geldeinheiten. Bestimme die zugehörige Stückzahl.
d) Bestimme die Stückzahl, bei der der Erlös maximal ist.

Question

Für die Herstellungskosten eines Gutes gilt: Die variablen Kosten betragen gleich-
bleibend 80 Geldeinheiten pro Stück und die Fixkosten sind mit 2000 Geldeinheiten
pro Woche veranschlagt. Die Erlösfunktion lautet:

. Die folgenden
Aufgaben sind grafisch zu lösen.
a) Ermittle die Gewinngrenzen.
b) Bestimme die Stückzahl für den maximalen Gewinn sowie dessen Höhe.
c) Der Gewinn beträgt 1000 Geldeinheiten. Bestimme die zugehörige Stückzahl.
d) Bestimme die Stückzahl, bei der der Erlös maximal ist.

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**a) Gewinngrenzen ermitteln**

Die Gewinnfunktion $$ G(x) $$ berechnet sich als Differenz von Erlös $$ E(x) $$ und Kosten $$ K(x) $$.

Es gilt:
$$
K(x) = \text{Fixkosten} + \text{variable Kosten} = 2000 + 80x
$$
$$
G(x)= E(x)-K(x)= (200x-x^2)-(80x+2000)
$$
$$
\quad\; = 200x-x^2-80x-2000 = 120x-x^2-2000
$$

Die Gewinngrenzen liegen dort, wo $$ G(x)=0 $$. Setzen wir also:
$$
120x-x^2-2000=0
$$
Zur besseren Übersicht multiplizieren wir mit $$-1$$:
$$
x^2-120x+2000=0
$$

Berechnen wir die Diskriminante:
$$
\Delta = 120^2-4\cdot1\cdot2000 = 14400-8000=6400
$$
$$
\sqrt{\Delta}=80
$$

Die Lösungen sind:
$$
x=\frac{120\pm80}{2}
$$
Somit erhalten wir:
$$
x_1=\frac{120+80}{2}=100,\quad x_2=\frac{120-80}{2}=20
$$

Die Gewinngrenzen liegen also bei $$ x=20 $$ und $$ x=100 $$ Stück.

---

**b) Maximale Gewinnstückzahl und Gewinnhöhe**

Wir haben die Gewinnfunktion:
$$
G(x)=-x^2+120x-2000
$$
Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum in ihrem Scheitelpunkt.

Die $$ x $$-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet sich mit:
$$
x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2\cdot(-1)} = 60
$$

Einsetzen in $$ G(x) $$:
$$
G(60)=120\cdot60-60^2-2000
$$
$$
G(60)=7200-3600-2000=1600
$$

Der maximale Gewinn beträgt also $$ 1600 $$ Geldeinheiten bei einer Stückzahl von $$ 60 $$.

---

**c) Bestimmung der Stückzahl bei einem Gewinn von 1000 Geldeinheiten**

Es soll gelten:
$$
G(x)=1000
$$
Also:
$$
120x-x^2-2000=1000
$$
Umformen:
$$
120x-x^2-3000=0
$$
Multiplizieren mit $$-1$$:
$$
x^2-120x+3000=0
$$

Berechnen der Diskriminante:
$$
\Delta = 120^2-4\cdot1\cdot3000 = 14400-12000=2400
$$
$$
\sqrt{\Delta}=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}
$$

Lösungen:
$$
x=\frac{120\pm20\sqrt{6}}{2}=60\pm10\sqrt{6}
$$

Die zugehörigen Stückzahlen sind:
$$
x_1=60-10\sqrt{6} \quad \text{und} \quad x_2=60+10\sqrt{6}
$$

---

**d) Maximierung des Erlöses**

Die Erlösfunktion lautet:
$$
E(x)=200x-x^2
$$
Auch hier handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel, und ihr Maximum liegt im Scheitelpunkt.

Die $$ x $$-Koordinate des Scheitelpunktes ist:
$$
x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2\cdot(-1)} = 100
$$

Der maximale Erlös wird bei $$ x=100 $$ Stück erzielt.
**a) Gewinngrenzen:** - $$ x = 20 $$ und $$ x = 100 $$ Stück **b) Maximale Gewinn:** - $$ 60 $$ Stück, $$ 1600 $$ Geldeinheiten **c) Stückzahl bei $$ 1000 $$ Geldeinheiten Gewinn:** - $$ 60 - 10\sqrt{6} $$ und $$ 60 + 10\sqrt{6} $$ Stück **d) Maximales Erlös:** - $$ 100 $$ Stück

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