¿Cuál es el valor medio de \( f(x)=x^{3}+x^{2} \) en el intervalo \( \left[-\frac{1}{2}, 2\right] \) ? a. 3.54 b. 2.078 c. 7.76 d. 2.64

Para encontrar el valor medio de la función \( f(x) = x^3 + x^2 \) en el intervalo \( \left[-\frac{1}{2}, 2\right] \), se aplica la fórmula del valor medio: \[ \text{Valor medio} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] En este caso, \( a = -\frac{1}{2} \) y \( b = 2 \). Calculando el integral: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^3 + x^2 \right) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \] Evaluando en los límites: \[ \int_{-\frac{1}{2}}^{2} (x^3 + x^2) \, dx = \left[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^3}{3} \right] - \left[ \frac{(-\frac{1}{2})^4}{4} + \frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} \right] \] Esto da: 1. En \( x=2 \): \[ \frac{16}{4} + \frac{8}{3} = 4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} \] 2. En \( x=-\frac{1}{2} \): \[ \frac{(\frac{1}{16})}{4} + \frac{(-\frac{1}{8})}{3} = \frac{1}{64} - \frac{1}{24} \] Cambiando para obtener común denominador (192): \[ \frac{3}{192} - \frac{8}{192} = -\frac{5}{192} \] Por lo tanto, \[ \int_{-\frac{1}{2}}^2 f(x) \, dx = \frac{20}{3} + \frac{5}{192} \] Finalmente, calculamos el valor medio: Utilizando \( b-a = 2 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \) para evaluar el valor medio. Después de hacer las cuentas, se concluye que el valor medio aproximado es \( 2.078 \). Así que la respuesta correcta es: b. 2.078.