2) Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento a) $$ \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} $$

Question

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Para determinar si la sucesión $$ a_n = \frac{1 - 2n}{n^2} $$ es monótona, debemos analizar el comportamiento de los términos de la sucesión a medida que $$ n $$ aumenta.

1. **Calcular los términos de la sucesión**:
   - Para $$ n = 1 $$: $$ a_1 = \frac{1 - 2 \cdot 1}{1^2} = \frac{1 - 2}{1} = -1 $$
   - Para $$ n = 2 $$: $$ a_2 = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2^2} = \frac{1 - 4}{4} = -\frac{3}{4} $$
   - Para $$ n = 3 $$: $$ a_3 = \frac{1 - 2 \cdot 3}{3^2} = \frac{1 - 6}{9} = -\frac{5}{9} $$
   - Para $$ n = 4 $$: $$ a_4 = \frac{1 - 2 \cdot 4}{4^2} = \frac{1 - 8}{16} = -\frac{7}{16} $$

2. **Comparar términos consecutivos**:
   Para determinar si la sucesión es monótona, calculamos la diferencia entre términos consecutivos:
   $$
   a_{n+1} - a_n = \frac{1 - 2(n+1)}{(n+1)^2} - \frac{1 - 2n}{n^2}
   $$
   Simplificamos esta expresión:
   $$
   a_{n+1} - a_n = \frac{1 - 2n - 2}{(n+1)^2} - \frac{1 - 2n}{n^2} = \frac{-2n - 1}{(n+1)^2} - \frac{1 - 2n}{n^2}
   $$
   Para simplificar, llevamos a un común denominador:
   $$
   = \frac{(-2n - 1)n^2 - (1 - 2n)(n+1)^2}{(n+1)^2 n^2}
   $$

Al expandir y simplificar, podemos observar el signo de $$ a_{n+1} - a_n $$.

3. **Análisis del signo**:
   Observamos que para $$ n \geq 1 $$, el numerador de $$ a_{n+1} - a_n $$ es negativo, ya que tanto $$ -2n - 1 $$ como $$ 1 - 2n $$ son negativos para $$ n \geq 1 $$. Esto implica que $$ a_{n+1} < a_n $$.

4. **Conclusión**:
   Dado que $$ a_{n+1} < a_n $$ para todo $$ n \geq 1 $$, podemos concluir que la sucesión $$ \left\{\frac{1 - 2n}{n^2}\right\} $$ es monótona decreciente.
Para determinar si la sucesión $$ \left\{\frac{1 - 2n}{n^2}\right\} $$ es monótona, calculamos los términos y comparamos consecutivos. Observamos que $$ a_{n+1} < a_n $$ para $$ n \geq 1 $$, por lo que la sucesión es monótona decreciente.

2) Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento a) \( \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} \)

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