являются скрещивающимися.
б) Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда
плоскостью , где точка - середина ребра ,
если и .

Ask by Graham Ruiz. in Russia

Dec 08,2024

Question

являются скрещивающимися.
б) Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда
плоскостью , где точка - середина ребра ,
если и .

Ask by Graham Ruiz. in Russia

Dec 08,2024

UpStudy AI · Accepted Answer

Для нахождения площади сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью $$ ABM $$, где $$ M $$ - середина ребра $$ B_1C_1 $$, сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда.

Пусть:
- $$ A(0, 0, 0) $$
- $$ B(4, 0, 0) $$
- $$ C(4, 8, 0) $$
- $$ D(0, 8, 0) $$
- $$ A_1(0, 0, 3) $$
- $$ B_1(4, 0, 3) $$
- $$ C_1(4, 8, 3) $$
- $$ D_1(0, 8, 3) $$

Теперь найдем координаты точки $$ M $$, которая является серединой ребра $$ B_1C_1 $$:
- $$ B_1(4, 0, 3) $$
- $$ C_1(4, 8, 3) $$

Координаты точки $$ M $$ будут:
$$
M\left(4, \frac{0 + 8}{2}, 3\right) = M(4, 4, 3)
$$

Теперь определим уравнение плоскости $$ ABM $$. Для этого найдем векторы $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AM} $$:
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)
$$
$$
\overrightarrow{AM} = M - A = (4, 4, 3) - (0, 0, 0) = (4, 4, 3)
$$

Теперь найдем векторное произведение $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AM} $$:
$$
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
4 & 0 & 0 \
4 & 4 & 3
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) - \mathbf{j}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + \mathbf{k}(4 \cdot 4 - 0 \cdot 4)
$$
$$
= 0\mathbf{i} - 12\mathbf{j} + 16\mathbf{k} = (0, -12, 16)
$$

Уравнение плоскости можно записать в виде:
$$
0(x - 0) - 12(y - 0) + 16(z - 0) = 0 \implies -12y + 16z = 0 \implies 3y = 4z \implies z = \frac{3}{4}y
$$

Теперь найдем точки пересечения плоскости с ребрами параллелепипеда. Рассмотрим ребра, которые могут пересекаться с плоскостью:
1. Ребро $$ AB $$ (параметрическое уравнение: $$ (4t, 0, 0) $$, где $$ 0 \leq t \leq 1 $$)
2. Ребро $$ AD $$ (параметрическое уравнение: $$ (0, 8t, 0) $$, где $$ 0 \leq t \leq 1 $$)
3. Ребро $$ AA_1 $$ (параметрическое уравнение: $$ (0, 0, 3t) $$, где $$ 0 \leq t \leq 1 $$)
4. Ребро $$ B_1C_1 $$ (параметрическое уравнение: $$ (4, 8t, 3) $$, где $$ 0 \leq t \leq 1 $$)

Теперь найдем пересечения:

1. Для ребра $$ AB $$:
   $$
   z = 0 \implies 0 = \frac{3}{4} \cdot 0 \quad \text{(пересечение в } (0, 0, 0) \text{)}
   $$

2. Для ребра $$ AD $$:
   $$
   z = 0 \implies 0 = \frac{3}{4} \cdot 8t \implies t = 0 \quad \text{(пересечение в } (0, 0, 0) \text{)}
   $$

3. Для ребра $$ AA_1 $$:
   $$
   z = 3t \implies 3t = \frac{3}{4} \cdot 0 \implies t = 0 \quad \text{(пересечение в } (0, 0, 0) \text{)}
   $$

4. Для ребра $$ B_1C_1 $$:
   $$
   z = 3 \implies 3 = \frac{3}{4} \cdot 8t \implies t = 1 \quad \text{(пересечение в } (4, 8, 3) \text{)}
   $$

Теперь у нас есть три точки пересечения: $$ A(0, 0, 0) $$, $$ B(4, 0, 0) $$ и $$ M(4, 4, 3) $$.

Площадь треугольника $$ ABM $$ можно найти по формуле:
$$
S = \frac{1}{2} \cdot | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} |
$$
где $$ \overrightarrow{AB} = (4, 0, 0) $$ и $$ \overrightarrow{AM} = (4, 4, 3) $$.

Мы уже нашли векторное произведение:
$$
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = (0, -12, 16)
$$
Длина этого вектора:
$$
|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}| = \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 16^2} = \sqrt{0 + 144 + 256} = \sqrt{400} = 20
$$

Теперь подставим в формулу для площади:
$$
S = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см}^2
$$

Таким образом, площадь сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью $$ ABM $$ равна $$ 10 \text{ см}^2 $$.
Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью $$ ABM $$ равна $$ 10 \text{ см}^2 $$.

являются скрещивающимися.
б) Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда
плоскостью , где точка - середина ребра ,
если и .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions

являются скрещивающимися. б) Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью , где точка - середина ребра , если и .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions

являются скрещивающимися.
б) Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда
плоскостью , где точка - середина ребра ,
если и .