II. Dadas las siguientes funciones Dor medio de la gráfica bien elaborada, determina si son continuas a discontinuas (justifica tu respuesta), en el caso de ser discontinuas, determina para qué valores se da la discontinuidad. Además, determina el Dominio y Rango para cada una de las funciones a) \( f(x)=\frac{x-3}{x} \) b) \( F(x)=-x^{3}+2 \) \( \mathrm{q}(x)=2 \sqrt{3 x-1} \)

Claro, vamos a analizar cada una de las funciones mencionadas en términos de continuidad, dominio y rango. --- ### a) \( f(x) = \frac{x - 3}{x} \) #### **Dominio** El dominio de una función racional está determinado por los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea diferente de cero. \[ x \neq 0 \] **Dominio:** \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) ó \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \) #### **Rango** Para encontrar el rango, buscamos los valores de \( y \) que la función puede tomar. \[ y = \frac{x - 3}{x} = 1 - \frac{3}{x} \] Resolver para \( x \): \[ x = \frac{3}{1 - y} \] La expresión está definida para cualquier \( y \) excepto cuando \( 1 - y = 0 \), es decir, \( y = 1 \). **Rango:** \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) ó \( y \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \) #### **Continuidad** La función \( f(x) \) es una función racional y, por lo tanto, es continua en todos los puntos de su dominio. Sin embargo, hay una discontinuidad en \( x = 0 \), ya que el denominador se hace cero. **Continuidad:** - Continua en \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) - **Discontinuidad:** En \( x = 0 \) (discontinuidad de tipo asintótica vertical) --- ### b) \( F(x) = -x^{3} + 2 \) #### **Dominio** Las funciones polinómicas están definidas para todos los números reales. **Dominio:** \( \mathbb{R} \) ó \( x \in (-\infty, +\infty) \) #### **Rango** Las funciones cúbicas tienen rango completo de todos los números reales. **Rango:** \( \mathbb{R} \) ó \( y \in (-\infty, +\infty) \) #### **Continuidad** Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. **Continuidad:** Continua en \( \mathbb{R} \) (sin discontinuidades) --- ### c) \( q(x) = 2 \sqrt{3x - 1} \) #### **Dominio** Para que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea no negativa: \[ 3x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{3} \] **Dominio:** \( x \in \left[ \frac{1}{3}, +\infty \right) \) #### **Rango** La raíz cuadrada siempre es no negativa, y al multiplicarla por 2: \[ y \geq 0 \] **Rango:** \( y \in [0, +\infty) \) #### **Continuidad** Las funciones de la forma \( \sqrt{u(x)} \) son continuas en todo su dominio siempre que \( u(x) \) sea continua. En este caso, \( u(x) = 3x - 1 \) es una función lineal continua. **Continuidad:** Continua en \( \left[ \frac{1}{3}, +\infty \right) \) (sin discontinuidades dentro de su dominio) --- ### Resumen | Función | Dominio | Rango | Continuidad | |---------------------|----------------------------------|------------------------------|-----------------------------------------| | \( f(x) = \frac{x - 3}{x} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) | Continua en su dominio; Discontinuidad en \( x = 0 \) | | \( F(x) = -x^{3} + 2 \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | Continua en todo \( \mathbb{R} \) | | \( q(x) = 2 \sqrt{3x - 1} \) | \( x \geq \frac{1}{3} \) | \( y \geq 0 \) | Continua en \( \left[ \frac{1}{3}, +\infty \right) \) | Espero que esta explicación te sea de ayuda para comprender la continuidad, el dominio y el rango de cada una de las funciones mencionadas.