Question
derivar \( F(t)=\sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(t)+9 \cos ^{2}(t)} \)
Ask by Perkins Robbins. in Colombia
Feb 04,2025
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Answer
La derivada de \( F(t) = \sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)} \) es:
\[
F'(t) = \frac{-5 \sin(t) \cos(t)}{\sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)}}
\]
Solution
Para derivar la función \( F(t) = \sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)} \), seguiremos los siguientes pasos:
1. **Identificar la función a derivar:**
\[
F(t) = \sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)}
\]
2. **Aplicar la regla de la cadena:**
Para derivar una función de la forma \( \sqrt{g(t)} \), utilizamos:
\[
F'(t) = \frac{g'(t)}{2\sqrt{g(t)}}
\]
donde \( g(t) = 4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t) \).
3. **Calcular la derivada de \( g(t) \):**
\[
g(t) = 4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)
\]
Derivando término a término:
\[
g'(t) = 8 \sin(t) \cos(t) - 18 \sin(t) \cos(t) = -10 \sin(t) \cos(t)
\]
4. **Sustituir \( g(t) \) y \( g'(t) \) en la expresión de \( F'(t) \):**
\[
F'(t) = \frac{-10 \sin(t) \cos(t)}{2 \sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)}}
\]
5. **Simplificar la expresión:**
\[
F'(t) = \frac{-5 \sin(t) \cos(t)}{\sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)}}
\]
**Resultado final:**
\[
F'(t) = \frac{-5 \sin(t) \cos(t)}{\sqrt{4 \sin^{2}(t) + 9 \cos^{2}(t)}}
\]
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Para derivar la función \( F(t)=\sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(t)+9 \cos ^{2}(t)} \), aplicamos la regla de la cadena. La derivada de \( F \) será: \[ F'(t) = \frac{1}{2\sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(t)+9 \cos ^{2}(t)}} \cdot (8 \operatorname{sen}(t) \operatorname{cos}(t) - 9 \cos(t) \operatorname{sen}(t)) \] Simplificando un poco los términos: \[ F'(t) = \frac{(8 - 9 \cos^2(t)) \operatorname{sen}(t) \operatorname{cos}(t)}{\sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(t)+9 \cos ^{2}(t)}} \] Así que, usando la regla del cociente y la regla de la cadena, obtienes la derivada de tu función con respecto a \( t \). ¡Sigue explorando y derivando más funciones!
