Знаки корней квадратного уравнения. 9. При каких значениях параметра a все получающиеся корни уравнения \( (a-3) x^{2}-2 a x+6 a=0 \) положительны?

Для уравнения \( (a-3)x^{2} - 2a x + 6a = 0 \) необходимо, чтобы оба корня были положительными. Для этого должны выполняться следующие условия: 1. **Коэффициент при \( x^2 \) положителен:** \[ a - 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > 3 \] 2. **Сумма корней положительна:** \[ \frac{2a}{a-3} > 0 \] Поскольку \( a > 3 \), это условие выполняется автоматически, так как числитель \( 2a > 0 \). 3. **Произведение корней положительно:** \[ \frac{6a}{a-3} > 0 \] Опять же, при \( a > 3 \) это условие выполняется, так как \( 6a > 0 \). 4. **Дискриминант неотрицателен (для действительных корней):** \[ D = (-2a)^2 - 4(a-3)(6a) = 4a^2 - 24a^2 + 72a = -20a^2 + 72a \geq 0 \] Решая неравенство: \[ -20a^2 + 72a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 20a^2 - 72a \leq 0 \quad \Rightarrow \quad a(5a - 18) \leq 0 \] Это выполняется при \( 0 \leq a \leq \frac{18}{5} \). Объединяя все условия, получаем: \[ 3 < a \leq \frac{18}{5} \] **Ответ:** Все значения параметра a, большие 3 и не превышающие 18⁄5. То есть \( 3 < a ≤ \frac{18}{5} \).