\( \left. \begin{array} { l } { 6 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 11 x - 1 } \\ { 2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 6 x + 11 } \end{array} \right. \)

Para dividir el polinomio \[ \frac{6x^{4} + 3x^{3} - 6x^{2} + 11x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11}, \] realizamos la división polinómica paso a paso: 1. **Primer término del cociente:** \[ \frac{6x^{4}}{2x^{3}} = 3x \] 2. **Multiplicamos el divisor por \(3x\) y restamos del dividendo:** \[ 3x \cdot (2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11) = 6x^{4} + 9x^{3} - 18x^{2} + 33x \] \[ \begin{align*} & (6x^{4} + 3x^{3} - 6x^{2} + 11x - 1) \\ - & (6x^{4} + 9x^{3} - 18x^{2} + 33x) \\ = & -6x^{3} + 12x^{2} - 22x - 1 \end{align*} \] 3. **Segundo término del cociente:** \[ \frac{-6x^{3}}{2x^{3}} = -3 \] 4. **Multiplicamos el divisor por \(-3\) y restamos del resultado anterior:** \[ -3 \cdot (2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11) = -6x^{3} - 9x^{2} + 18x - 33 \] \[ \begin{align*} & (-6x^{3} + 12x^{2} - 22x - 1) \\ - & (-6x^{3} - 9x^{2} + 18x - 33) \\ = & 21x^{2} - 40x + 32 \end{align*} \] Como el grado del residuo (\(21x^{2} - 40x + 32\)) es menor que el grado del divisor (\(2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11\)), concluimos la división. **Resultado final:** \[ \frac{6x^{4} + 3x^{3} - 6x^{2} + 11x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11} = 3x - 3 + \frac{21x^{2} - 40x + 32}{2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11} \] **En resumen:** - **Cociente:** \(3x - 3\) - **Residuo:** \(21x^{2} - 40x + 32\) Por lo tanto, la expresión original se puede expresar como: \[ 3x - 3 + \frac{21x^{2} - 40x + 32}{2x^{3} + 3x^{2} - 6x + 11} \]