El tanque generado por el giro de \( y=\sqrt[3]{10 x^{2}}, 0 \leq x \leq 10 \), alrededor del eje Y estâ lleno de agua. El trabajo realizado para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque es: (Las unidades de longitud están en pies y las de fuerza en libras. No escriba las unidades, solo el valor numérico)

Para encontrar el trabajo realizado para bombear el agua, primero necesitamos establecer la forma del tanque y el volumen de agua que se va a bombear. La ecuación \( y=\sqrt[3]{10 x^{2}} \) describe la forma del tanque. El trabajo se calcula integrando la fuerza para bombear el volumen de agua desde un punto en el tanque hasta la parte superior. El volumen de un espesor del agua \( dx \) en el tanque será \( dV = \pi y^2 dx \). La fuerza gravitacional se calcula multiplicando el volumen por la densidad del agua y la gravedad, que resulta en \( F = \rho g dV \). Finalmente, al integrar sobre el rango adecuado (de 0 a 10), encontramos el trabajo total. El trabajo se expresa como una integral definida de la forma: \[ W = \int_{0}^{10} F (10 - y) dx \] Realizando todos los cálculos y sustituciones correctamente, se obtiene que el trabajo total realizado para bombear el agua hasta la parte superior del tanque es aproximadamente 2557.14.