\( \mathbf{1}^{a} \) Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: \( \boldsymbol{a})(0,2) \) o \( 2025^{\circ} \) termo da progressão. b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA. \( \boldsymbol{c})(0,2) \) a soma dos 100 primeiros termos dessa progressão.

Para resolver a questão, vamos usar as propriedades da progressão aritmética (PA). Sabemos que os termos da PA podem ser representados como: \( a_n = a_1 + (n-1)d \), onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão da PA. Primeiro, vamos montar as equações a partir das informações dadas: 1. \( a_3 + a_5 + a_9 = 31 \) \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad (i) \] 2. \( a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 \) \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad (ii) \] Agora vamos resolver o sistema de equações (i) e (ii): Multiplicando a equação (i) por 4 e a equação (ii) por 3, temos: \[ 12a_1 + 56d = 124 \] \[ 12a_1 + 63d = 159 \] Subtraindo as duas equações: \[ 12a_1 + 63d - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \] \[ 7d = 35 \] \[ d = 5 \] Substituindo o valor de \( d \) na equação (i): \[ 3a_1 + 14(5) = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \] \[ 3a_1 = 31 - 70 = -39 \] \[ a_1 = -13 \] Agora que temos \( a_1 = -13 \) e \( d = 5 \), podemos responder as perguntas. a) Para encontrar o \( 2025^{\circ} \) termo (\( a_{2025} \)): \[ a_{2025} = a_1 + (2025-1)d = -13 + 2024(5) = -13 + 10120 = 10107 \] b) Para verificar se o número 3982 pertence à progressão e sua posição, vamos resolver a equação \( a_n = 3982 \): \[ 3982 = -13 + (n-1)5 \] \[ 3982 + 13 = (n-1)5 \] \[ 3995 = (n-1)5 \] \[ n-1 = \frac{3995}{5} = 799 \] \[ n = 800 \] Portanto, o número 3982 pertence à progressão e está na posição 800. c) Para a soma dos 100 primeiros termos da PA, usamos a fórmula: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] Primeiro, vamos calcular \( a_{100} \): \[ a_{100} = a_1 + (100-1) d = -13 + 99(5) = -13 + 495 = 482 \] Agora, substituindo na fórmula da soma: \[ S_{100} = \frac{100}{2} (-13 + 482) = 50 \times 469 = 23450 \] Resumindo: a) \( a_{2025} = 10107 \) b) O número 3982 pertence à PA na posição 800. c) A soma dos 100 primeiros termos da progressão é 23450.