La somma dei cateti di un triangolo rettango- lo misura 21 cm uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. Calcola il perimetro del triangolo. \( \quad[36 \mathrm{~cm}] \)

Per risolvere il problema, seguiamo questi passaggi: 1. **Definizione delle incognite:** Indichiamo con \( x \) la lunghezza di uno dei cateti e con \( \frac{3}{4}x \) l'altro cateto, poiché uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. 2. **Somma dei cateti:** La somma dei cateti è data da: \[ x + \frac{3}{4}x = \frac{7}{4}x = 21 \text{ cm} \] Risolviamo per \( x \): \[ \frac{7}{4}x = 21 \\ x = 21 \times \frac{4}{7} = 12 \text{ cm} \] Quindi, i cateti misurano: \[ x = 12 \text{ cm} \\ \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \times 12 = 9 \text{ cm} \] 3. **Calcolo dell'ipotenusa:** Utilizziamo il teorema di Pitagora: \[ h = \sqrt{x^2 + \left(\frac{3}{4}x\right)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \] 4. **Calcolo del perimetro:** Il perimetro \( P \) del triangolo rettangolo è la somma dei tre lati: \[ P = 12 + 9 + 15 = 36 \text{ cm} \] **Risposta:** Il perimetro del triangolo è di **36 cm**.