$$ y^{\prime \prime}+16 y=8 \operatorname{sen}(4 t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 $$ Halle la expresión analítica de la solución y grafiquela. Con este ejemplo podemos cuestionar el comportamiento de la solución cuando t tiende a infinito. Más aún podríamos resolver: $$ y^{\prime \prime}+16 y=8 \operatorname{sen}(w t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 $$ para diferentes valores de $$ w=3,3.25,3.75,4.0 $$ y motivar el concepto de resonancia haciendo énfasis en la influencia del modelo matemático (parámetro $$ w $$ ) sobre el modelo físico (oscilaciones crecientes). La frecuen- cia de la fuente o agente externo coincide con la frecuencia natural del sistema esto produce que las amplitudes de la solución crezcan en tiempo.

Question

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La ecuación diferencial es

$$
y'' + 16y = 8\sin(4t),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
$$

**Paso 1. Solución de la ecuación homogénea**

La ecuación homogénea asociada es

$$
y_h'' + 16y_h = 0.
$$

La ecuación característica es

$$
r^2 + 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 4i.
$$

Por lo tanto, la solución general homogénea es

$$
y_h(t)= C_1\cos(4t) + C_2\sin(4t).
$$

**Paso 2. Solución particular (caso de resonancia)**

Debido a que el término forzante $$8\sin(4t)$$ tiene la misma frecuencia que la solución de la homogénea, se debe buscar una solución particular de la forma

$$
y_p(t)= t\Big(A\cos(4t) + B\sin(4t)\Big).
$$

Se calculan las derivadas necesarias.

La primera derivada es

$$
y_p'(t)= A\cos(4t) + B\sin(4t) + t\big(-4A\sin(4t) + 4B\cos(4t)\big).
$$

La segunda derivada es

$$
\begin{aligned}
y_p''(t) &= \frac{d}{dt}\Big[A\cos(4t) + B\sin(4t)\Big] + \frac{d}{dt}\Big\{t\big(-4A\sin(4t) + 4B\cos(4t)\big)\Big\} \
&= -4A\sin(4t) + 4B\cos(4t) \
&\quad +\Big[-4A\sin(4t) + 4B\cos(4t)\Big] \
&\quad + t\Big[-16A\cos(4t)-16B\sin(4t)\Big] \
&= -8A\sin(4t) + 8B\cos(4t) - 16t\Big[A\cos(4t)+B\sin(4t)\Big].
\end{aligned}
$$

Al sustituir $$y_p(t)$$ y $$y_p''(t)$$ en la ecuación

$$
y_p'' + 16y_p,
$$

se obtiene

$$
\begin{aligned}
y_p'' + 16y_p &= \Big[-8A\sin(4t) + 8B\cos(4t) - 16t\big(A\cos(4t)+B\sin(4t)\big)\Big] + 16t\big(A\cos(4t)+B\sin(4t)\big) \
&= -8A\sin(4t) + 8B\cos(4t).
\end{aligned}
$$

Esta expresión debe igualar el forzante $$8\sin(4t)$$. Es decir,

$$
-8A\sin(4t) + 8B\cos(4t) = 8\sin(4t).
$$

Igualando coeficientes se tiene:

- Coeficiente de $$\sin(4t)$$: $$-8A = 8$$, de donde $$A = -1$$.
- Coeficiente de $$\cos(4t)$$: $$8B = 0$$, de donde $$B = 0$$.

Así, la solución particular es

$$
y_p(t) = -t\cos(4t).
$$

**Paso 3. Solución general**

La solución general de la ecuación es la suma de la solución homogénea y la particular:

$$
y(t)= C_1\cos(4t) + C_2\sin(4t) - t\cos(4t).
$$

Aplicamos las condiciones iniciales para determinar $$C_1$$ y $$C_2$$.

Para $$t=0$$,

$$
y(0)= C_1\cos(0) + C_2\sin(0) - 0\cdot\cos(0)= C_1 = 1,
$$

entonces $$C_1=1$$.

Ahora, derivamos $$y(t)$$:

$$
y(t)= \cos(4t) + C_2\sin(4t) - t\cos(4t).
$$

Diferenciamos:

$$
\begin{aligned}
y'(t) &= -4\sin(4t) + 4C_2\cos(4t) - \Big[\cos(4t) - 4t\sin(4t)\Big] \
&= -4\sin(4t) + 4C_2\cos(4t) - \cos(4t) + 4t\sin(4t).
\end{aligned}
$$

Evaluando en $$t=0$$:

$$
y'(0)= -4\sin(0) + 4C_2\cos(0) - \cos(0) + 0 = 4C_2 - 1.
$$

Como $$y'(0)=0$$, se tiene

$$
4C_2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{1}{4}.
$$

Por lo tanto, la solución analítica es

$$
\boxed{y(t)=\cos(4t) + \frac{1}{4}\sin(4t) - t\cos(4t).}
$$

**Paso 4. Análisis y gráfica (concepto de resonancia)**

La solución encontrada muestra que, ante una fuente con frecuencia $$4$$ (que coincide con la frecuencia natural $$4$$ del sistema), aparece el término $$ -t\cos(4t)$$. Esto indica una situación de \emph{resonancia} en la cual la amplitud de la oscilación crece linealmente en el tiempo.

Para analizar el comportamiento ante diferentes frecuencias, se puede considerar la ecuación

$$
y'' + 16y = 8\sin(\omega t),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0,
$$

con distintos valores de $$\omega$$, por ejemplo, $$\omega=3,\, 3.25,\, 3.75,\, 4.0$$. Cuando $$\omega \neq 4$$, la fuente forzante y la frecuencia natural son diferentes, y la solución particular no presenta términos multiplicados por $$t$$; por lo tanto, se evita el crecimiento sin límite de la amplitud. En cambio, cuando $$\omega=4$$ se produce resonancia y los términos forzados inducen oscilaciones de amplitud creciente en el tiempo.

A continuación se muestra un ejemplo de código en Python usando $$\texttt{matplotlib}$$ para graficar la solución en el caso resonante:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 10, 400)
y = np.cos(4*t) + 0.25*np.sin(4*t) - t*np.cos(4*t)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, y, label='$y(t)=\cos(4t)+\tfrac{1}{4}\sin(4t)-t\cos(4t)$')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solución de $y\'\'+16y=8\sin(4t)$ con resonancia')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```

Este gráfico mostrará cómo la solución crece en amplitud debido al término resonante. Al variar $$\omega$$ en la ecuación $$y''+16y=8\sin(\omega t)$$, se puede observar que para $$\omega$$ distinto de $$4$$ la respuesta se mantiene acotada y no presenta ese crecimiento lineal.
La solución analítica de la ecuación diferencial $$ y'' + 16y = 8\sin(4t) $$ con las condiciones iniciales $$ y(0)=1 $$ y $$ y'(0)=0 $$ es: $$ y(t) = \cos(4t) + \frac{1}{4}\sin(4t) - t\cos(4t) $$ Esta solución muestra que cuando la frecuencia de la fuente forzante coincide con la frecuencia natural del sistema ($$ \omega = 4 $$), se produce resonancia, lo que lleva a una amplitud creciente en el tiempo. Para diferentes frecuencias, la solución no presenta crecimiento excesivo, evitando la resonancia.

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